題解-路徑數+算法-迴盪dp

Description

題目背景
$\texttt{Euphemia}$ 到一個 $N\times N$ 的藥草田裏採藥，她從左上角的格子田（第一行，第一列）出發，要到達右下角（第 $N$ 行，第 $N$ 列）的格子田，每次她可以走到與當前格子有邊相鄰的格子去，但她不會走已經走過的格子，而且出於對美的要求，她走過的路徑是關於左下-右上對角線對稱的。由於地勢不同，在每個格子田採藥都會有一個疲勞度 $T_{i,j}$ ， $\texttt{Euphemia}$ 想知道：有多少條合法路徑，可以使得她採藥的疲勞度最小。
輸入格式：
多組測試數據。
每組數據第一行一個整數 $N$ ，接下來 $N$ 行，每行 $N$ 個非零數字（ $1,2,3...9$ 中一個），表示格子田的疲勞度。
當 $N=0$ ，輸入結束。
輸出格式：
對於每組數據，輸出一個整數表示答案，答案 $\%1000000009$ 。
樣例輸入：
2
1 1
1 1
3
1 1 1
1 1 1
2 1 1
0
樣例輸出：
2
3
數據範圍：
對於 $20\%$ 的數據滿足 $N\le5$ 。
對於另外 $20\%$ 的數據滿足 $N\le40$ 。
對於 $100\%$ 的數據滿足 $N\le100$ ，不超過 $50$ 組數據。

Introduction

這題很容易騙分：

如果用 $\texttt{dfs}$ 暴力枚舉路徑騙分，可以騙到 $\color{#f34c05}\texttt{20分}$ 。

如果用錯誤的思路 $\Theta(n^2)$ 來 $\texttt{dp}$ ，也能騙到 $\color{#ffcc00}\texttt{60分}$ （只往右下角走，不回頭）。

Solution

先找路徑最小權值

首先因爲要從左下角走到右下角並且路線根據左下-右上的對角線對稱，所以相對於每個格子的權值爲：

$val_{i,j}= \begin{cases} T_{i,j}+T_{N-j+1,N-i+1}(i+j<N+1)\\ T_{i,j}(i+j==N+1) \end{cases}$

然後對於 $i+j>N+1$ 的格子就不用考慮了，只需要考慮從 $(1,1)$ 左上角走到 $i+j==N+1$ 的格子的最小權值路徑即可。

找最短路徑要用到的算法是：迴盪 $\texttt{dp}$ 。

因爲該算法是本蒟蒻考場上急中生智想出來的，所以就給它取了個奇怪的名字。

因爲題目並沒有說只能像下-左走，所以可能出現如下噁心數據：

10
1 1 1 1 1 9 9 9 9 9
9 9 9 9 1 9 9 9 9 9
9 9 1 1 1 9 9 9 9 9
9 9 1 9 9 9 9 9 9 9
9 9 1 1 1 1 9 9 9 9
9 9 9 9 9 1 9 1 1 1
9 9 9 9 9 1 9 1 9 1
9 9 9 9 9 1 1 1 9 1
9 9 9 9 9 9 9 9 9 1
9 9 9 9 9 9 9 9 9 1
0

這時的最小權值路徑應該是沿着圖中的 $1$ 走。如果用普通的 $\texttt{dp}$ ，就會很難找到一個合適的遞推順序。

但是因爲它這樣拐的彎最多隻有 $n$ 個，所以可以考慮這樣做：

重複 $n$ 次

從左上角到對稱軸順序 $\texttt{dp}$ 。
從對稱軸到左上角逆序 $\texttt{dp}$ 。

這樣就保證可以覆蓋到任何路徑了。記 $f_{i,j}(i+j\le N+1)$ 表示 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的路徑最小權值，所以這裏可以有一個小的優化，如果一次正序和一次逆序 $\texttt{dp}$ 都沒有改變任何 $f_{i,j}$ 的值，則停止重複正序逆序迴盪 $\texttt{dp}$ 。

Code:

//...
bool zxf(){//左上角到對稱軸
	bool res=0;
	for(int i=3;i<=n+1;i++)
		for(int x=1;x<i;x++){
			int y=i-x;
			if(min(f[x][y-1],f[x-1][y])+val(x,y)<f[x][y])
				f[x][y]=min(f[x][y-1],f[x-1][y])+val(x,y),res=1;
		}
	return res;
}
bool fxf(){//對稱軸到左上角
	bool res=0;
	for(int i=n;i>=2;i--)
		for(int x=1;x<i;x++){
			int y=i-x;
			if(min(f[x][y+1],f[x+1][y])+val(x,y)<f[x][y])
				f[x][y]=min(f[x][y+1],f[x+1][y])+val(x,y),res=1;
		}
	return res;
}
//...
void dp(){
	//...
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[1][1]=val(1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!zxf()&&!fxf()) break;//空迴盪優化
	//...
}
//...

然後統計最小權值路徑數

思路類似，記 $g_{i,j}(i+j\le N+1)$ 表示從 $(i,j)$ 到對稱軸 $(x,y)(x+y==N+1)$ 上最小權值路徑的條數。

首先找到 $mn=\min\{f_{i,j}\}(i+j==N+1)$ 。找到所有滿足 $f_{i,j}(i+j==N+1)==mn$ 的 $(i,j)$ ，令 $g_{i,j}=1$ 。然後因爲最短路徑也會是繞來繞去的，所以再次迴盪 $\texttt{dp}$ 找最短路線經過的格子：

重複 $n$ 次

從對稱軸到左上角正序逆推 $\texttt{dp}$ 。
從左上角到對稱軸逆序逆推 $\texttt{dp}$ 。

然後因爲這裏不是求最小值，容易重複計算路徑，所有應用類似網絡流的思想，記 $fw_{i,j,k}(i+j\le N+1,k\in\{0,1,2,3\})$ 表示 $(i,j)$ 這個格子在 $k$ 方向上已經遞推了的 $g$ 值，如果新一輪迴蕩中所有 $fw_{i,j,k}$ 的值都沒有改變，就優化——停止迴盪。

Code:

//...
bool zxg(){//從左上角到對稱軸逆序逆推dp
	bool res=0;
	for(int i=3;i<=n+1;i++)
		for(int x=1;x<i;x++){
			int y=i-x;
			if(f[x][y]+val(x-1,y)==f[x-1][y]&&g[x-1][y]>fw[x][y][0])
				(g[x][y]+=g[x-1][y]-fw[x][y][0])%=mod,fw[x][y][0]=g[x-1][y],res=1;
			if(f[x][y]+val(x,y-1)==f[x][y-1]&&g[x][y-1]>fw[x][y][1])
				(g[x][y]+=g[x][y-1]-fw[x][y][1])%=mod,fw[x][y][1]=g[x][y-1],res=1;
		}
	return res;
}
bool fxg(){//從對稱軸到左上角正序逆推dp。
	bool res=0;
	for(int i=n;i>=2;i--)
		for(int x=1;x<i;x++){
			int y=i-x;
			if(f[x][y]+val(x+1,y)==f[x+1][y]&&g[x+1][y]>fw[x][y][2])
				(g[x][y]+=g[x+1][y]-fw[x][y][2])%=mod,fw[x][y][2]=g[x+1][y],res=1;
			if(f[x][y]+val(x,y+1)==f[x][y+1]&&g[x][y+1]>fw[x][y][3])
				(g[x][y]+=g[x][y+1]-fw[x][y][3])%=mod,fw[x][y][3]=g[x][y+1],res=1;
		}
	return res;
}
void dp(){
	//...
	mn=inf;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		mn=min(mn,f[i][n+1-i]);
	memset(g,0x00,sizeof g);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(f[i][n+1-i]==mn) g[i][n+1-i]=1;
	memset(fw,0x00,sizeof fw);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!fxg()&&!zxg()) break;
	//...
}
//...

最後答案就是 $g_{1,1}$ ，即 $(1,1)$ 到對稱軸上最小權值路徑格子的路徑數。即 $(1,1)$ 到 $(N,N)$ 的最小 $T_{i,j}$ 和路徑條數。時間複雜度是 $\Theta(N^3)$ ，如果有優化，應該 $N=1000$ 的數據也過得了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
//@Start
const int inf=0x3f3f3f3f;
 
//@Debug
void debug(int x,int y,int arr[][1010]){
	for(int i=1;i<=x;i++)
		for(int j=1;j<=y;j++)
			printf("%d%c",arr[i][j],"\n "[j<y]);
}
 
//@DP
const int N=1010,mod=1e9+9;
int n,a[N][N],f[N][N],g[N][N],mn,fw[N][N][4];
int val(int x,int y){
	if(x+y==n+1) return a[x][y];
	return a[x][y]+a[n-y+1][n-x+1];
}
bool zxf(){
	bool res=0;
	for(int i=3;i<=n+1;i++)
		for(int x=1;x<i;x++){
			int y=i-x;
			if(min(f[x][y-1],f[x-1][y])+val(x,y)<f[x][y])
				f[x][y]=min(f[x][y-1],f[x-1][y])+val(x,y),res=1;
		}
	return res;
}
bool fxf(){
	bool res=0;
	for(int i=n;i>=2;i--)
		for(int x=1;x<i;x++){
			int y=i-x;
			if(min(f[x][y+1],f[x+1][y])+val(x,y)<f[x][y])
				f[x][y]=min(f[x][y+1],f[x+1][y])+val(x,y),res=1;
		}
	return res;
}
bool zxg(){
	bool res=0;
	for(int i=3;i<=n+1;i++)
		for(int x=1;x<i;x++){
			int y=i-x;
			if(f[x][y]+val(x-1,y)==f[x-1][y]&&g[x-1][y]>fw[x][y][0])
				(g[x][y]+=g[x-1][y]-fw[x][y][0])%=mod,fw[x][y][0]=g[x-1][y],res=1;
			if(f[x][y]+val(x,y-1)==f[x][y-1]&&g[x][y-1]>fw[x][y][1])
				(g[x][y]+=g[x][y-1]-fw[x][y][1])%=mod,fw[x][y][1]=g[x][y-1],res=1;
		}
	return res;
}
bool fxg(){
	bool res=0;
	for(int i=n;i>=2;i--)
		for(int x=1;x<i;x++){
			int y=i-x;
			if(f[x][y]+val(x+1,y)==f[x+1][y]&&g[x+1][y]>fw[x][y][2])
				(g[x][y]+=g[x+1][y]-fw[x][y][2])%=mod,fw[x][y][2]=g[x+1][y],res=1;
			if(f[x][y]+val(x,y+1)==f[x][y+1]&&g[x][y+1]>fw[x][y][3])
				(g[x][y]+=g[x][y+1]-fw[x][y][3])%=mod,fw[x][y][3]=g[x][y+1],res=1;
		}
	return res;
}
void dp(){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[1][1]=val(1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!zxf()&&!fxf()) break;
	// debug(n,n,f);
	mn=inf;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		mn=min(mn,f[i][n+1-i]);
	memset(g,0x00,sizeof g);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(f[i][n+1-i]==mn) g[i][n+1-i]=1;
	memset(fw,0x00,sizeof fw);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!fxg()&&!zxg()) break;
	printf("%d\n",g[1][1]);
}
 
//@Main
int main(){
	// freopen("100.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	while(n) dp(),scanf("%d",&n);//多組測試數據
	return 0;
}

祝大家學習愉快！

題解-路徑數+算法-迴盪dp