HDU 6050 Funny Function【乘法逆元+快速冪】

題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6050

Funny Function

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1346 Accepted Submission(s): 686

Problem Description
Function Fx,ysatisfies:

For given integers N and M,calculate Fm,1 modulo 1e9+7.

Input
There is one integer T in the first line.
The next T lines,each line includes two integers N and M .
1<=T<=10000,1<=N,M<2^63.

Output
For each given N and M,print the answer in a single line.

Sample Input
2
2 2
3 3

Sample Output
2
33

Source
2017 Multi-University Training Contest - Team 2

首先推薦一篇比較好的博客：戳這裏
這道題的數據量很大，如果一個個算的話數據量是很大的
我們可以試着找找規律：
n=2：1 2 6 18
n=3：1 5 33 229
n=4：1 10 150 2250
n=5：1 21 641 19861
從中可以看出：
當n是偶數時，從第二項開始後一項與前一項的比值都是固定的，且是2^n-1
當n是奇數時，從第二項開始後一項都是前一項固定倍數再減去一個固定值，這個固定值也是有規律可循的。
即（規律）：
當n爲偶數時,f[m]=f[m-1](2^n-1) (m>=3)即f[m]=f[2](2^n-1)^(m-2);
當n爲奇數時,f[m]=f[m-1]*(2^n-1)-(2^1+…..+2^(n-2)) (m>=3);
當n=當 n=3..5..7..9 時，該常數爲： 2..10..42..170;
2=2^1 10=2^1+2^3 42=2^1+2^3 +2^5 170=2^1+2^3 +2^5 +2^7

當然，規律找到這也不是最簡的
最終規律：

不過從我能得到的規律到最終規律這幾步沒有推出來。
好多人都是用矩陣快速冪做的，我在開始推薦的博客裏面兩種方法都有。

注意：在對除數取餘的時候爲了防止精度的丟失，需要用到乘法的逆元，將除法變成乘法。這裏使用的乘法逆元算法爲費馬小定理。

**費馬小定理
在p是素數的情況下，對任意整數x都有x^p≡x(mod)p。
可以在p爲素數的情況下求出一個數的逆元，x∗x^(p−2)≡1(mod p)，x^(p−2)即爲逆元。**
這個定理我也是第一次接觸
乘法逆元講解：http://blog.csdn.net/a27038/article/details/77017706
代碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
typedef long long LL;
LL km(LL a,LL b)
{//快速冪求a^b%mod;
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        LL n,m,ans;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        LL k=(km(2,n)-1)%mod;
        LL k1=(km(k,m-1)*2)%mod;
        if(n%2!=0)
            k1++;
        ans=(k1 * km(3,mod - 2)) % mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}