算法面試題 :變態跳臺階( python實現 ）

變態跳臺階( python實現 ）

一、題目描述

題目：變態跳臺階
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級 …它也可以跳上 n 級，此時該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法？

二、解題思路

  這裏，我們做一個簡單的推導。

  因爲青蛙可以跳1級，也可以跳2級…也可以跳n級。

  那麼，在 n>2 的前提下，我們分情況討論。

  情況 1：若青蛙第一步跳 1 級，剩下 n-1 級，相當於有 f(n-1) 種跳法；

  情況 2：若青蛙第一步跳 2 級，剩下 n-2 級，相當於有 f(n-2) 種跳法；

  $\cdot{}$$\cdot{}$$\cdot{}$$\cdot{}$$\cdot{}$$\cdot{}$

  情況 n-1：若青蛙第一步跳 n-1 級，還剩下 1 級，相當於還有 f(1) 種跳法；

  情況 n：若青蛙第一步跳 n 級，還剩下 0 級，相當於就 1 種跳法；

  最後將以上所有情況加起來，便得到 f(n) 的結果，如下：

$f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(1) +1\tag{1}$

  其中，$f(n)$ 表示求出來的 n 級臺階有多少種跳法 ，例如，$f(1) = 1$ 。（當 n = 1，就只有 1 種跳法，即 $f(1) = 1$ ）

  理解了公式 (1)，同理也可得到公式 (2)，如下：

$f(n-1) = f(n-2)+f(n-3)...+f(1)+1 \tag{2}$

  接下來，公式 (1) 與公式 (2) 做減法，可以得到公式 (3)，如下：

$f(n) =2f(n-1) \tag{3}$

  到這裏，就不難發現其微妙之處了（哈哈哈，一開始被題目嚇到的我終於放心了）。

  根據公式 (3)，我們可以將原問題轉化成一個簡單的問題，即 n 級臺階的跳法就是 n-1 級臺階跳法的 2 倍。

  當 n = 1 時，只有 $f(1)$ = 1 種跳法；

  當 n = 2 時，則有 $f(2)$ = 2 種跳法（ 即 2 $* f$(1) ）；

  當 n = 3 時，則有 $f(3)$ = 4 種跳法（ 即 2 $* f$(2) ）。…

  分析到這裏，我們就來看看程序代碼如何實現。

三、代碼實現

  這裏的代碼在 牛客網劍指offer：變態跳臺階 已測試通過，具體如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        if number == 0:
            return 0
        if number == 1:
            return 1
        return_number = 1
        for i in range(2,number+1):
            return_number = return_number * 2
        return return_number

  

相關題目鏈接：

[1] 劍指offer_面試題10 : 斐波那契數列( python實現 ）
[2] 個人專欄：算法面試題