概率論與數理統計第一章

一、概率與事件

• 概率是某個事件發生的可能性，用0-1區間內的數值表示，因此，概率可重複，事件不可重複。
• 注意：事件之間的運算：交換、分配、結合、德摩根律

二、頻率與概率

• 頻率是某個事件發生的次數，概率是某個事件發生n次後，頻率趨於某個穩定的值，這個值就是概率。
• 概率
  • 定義：非負、規範、可列可加
  • 計算原理
    • 乘法原理：分步走
    • 加法原理：分類，每類均完成
  • 性質
    • P(A-B)=P(A-AB)
    • P($\bar A$)=1-P(A)
    • P($A\bigcup B$)=P(A)+P(B)-P(AB)

三、古典概型（等可能概型）

• 樣本空間充滿區域，度量（長度、面積、體積等等）
• 任意點落在同一度量子區間等可能
• P(A)=$\frac{A}{S}$

四、條件概率

• P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$
• P($B_1\bigcup B_2$|A)=P($B_1$|A)+P($B_2$A)-P($B_1 B_2$|A)
• P(A-B|C)=P(A|C)-P(AB|C)
• P(AB)=P(A)P(B|A)
• P(ABC)=P(A|BC)P(B|C)P©
• P($\bar A$|C)=1-P(A|C)
• 全概率公式及貝葉斯公式
  • 全概率公式
    • 定義：路徑模型，一個結果由多條路徑可達，這些路徑彼此沒有交集，要計算整個結果的概率。
    • P(A)=P($B_1$)(P(A|$B_1$)+P($B_2$)(P(A|$B_2$)+$\dots$+P($B_n$)(P(A|$B_n$)
  • 貝葉斯公式
    • 定義：已知整個結果的概率，求某條路徑發生的可能性是多少。
    • P($B_i$|A)=$\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$=$\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(B_1)(P(A|B_1)+P(B_2)(P(A|B_2)+\dots+P(B_n)(P(A|B_n)}$

五、獨立性與伯努利概型

• 獨立性
  • P(AB)=P(A)P(B)
  • 推廣到三個事件
  • 若P(B)>0,AB相互獨立，則P(A|B)=P(A)
  • 若P(A)>0,P(B|$\bar A$)=P(B|A)，則AB獨立==等價於
  • 0<P(A)<1,0<P(B)<1,若P(A|B)+P($\bar A$|$\bar B$)，則AB獨立==等價於
• 伯努利（多重0-1分佈）
  • $P_n(k)=C^{k}_np^k(1-p)^{n-k}$