一句話總結：歐幾里得空間就是在對現實空間的規則抽象和推廣（從n<=3推廣到有限n維空間）。
歐幾里得幾何就是中學學的平面幾何、立體幾何，在歐幾里得幾何中，平行線任何位置的間距相等。
而中學學的幾何空間一般是2維，3維（所以，我們討論餘弦值、點間的距離、內積都是在低緯空間總結的），如果將這些低維空間所總結的規律推廣到有限的n維空間，那這些符合定義的空間則被統稱爲歐幾里得空間（歐式空間，Euclidean Space）。
而歐幾里得空間主要是定義了內積、距離、角（沒錯，就是初中的那些定義），理解了這些再去理解數學定義就很明確了。
來自百度百科的定義
計算兩個向量的內積（對應點相乘再加總）：
兩個向量內積的計算
內積的幾何概念是兩個向量的長度與它們夾角餘弦的積，所以，內積可以表示成：
初中公式：內積
於是餘弦值就是：
初中定義：餘弦值
所以角的計算就是：
角的定義
計算兩點x, y間的距離：
點座標之間對應相減平方加總開根號
關於非歐式空間：
非歐幾何，愛因斯坦曾經形象地說明過：假定存在一種二維扁平智能生物，但它們不是生活在絕對的平面上，而是生活在一個球面上，那麼，當它們在小範圍研究圓周率的時候，會跟我們一樣發現圓周率是3.14159……可是，如果它們畫一個很大的圓，去測量圓的周長和半徑，就會發現周長小於2πr，圓越大，周長比2πr小得越多，爲了能夠適用於大範圍的研究，它們就必須修正它們的幾何方法。如果空間有四維，而我們生活在三維空間中，而這個三維空間在空間的第四個維度中發生了彎曲，我們的幾何就會象那個球面上的扁平智能生物一樣，感受不到第四維的存在，但我們的幾何必須進行修正，這就是非歐幾何。在非歐幾何中，平行的直線只在局部平行，就象地球的經線只在赤道上平行。
閔可夫斯基空間屬於歐幾里得幾何的擴展，它是把時間也作爲一個維度進行量化，再添加光速係數，跟洛倫茲變換一樣，使得不同慣性系中的運動問題計算得以簡化。
