1.差分的概念
迄今爲止,我們所研究的變量基本上時屬於連續變化的類型,稱爲連續型變量。而在經濟管理的許多實際問題中,經濟變量的數據大多按等間隔時間週期統計,這些變量稱爲離散型變量。描述各離散變量之間的關係的數學模型稱爲離散型模型,在這盤博文中,主要爲大家介紹一下一種常見的離散型數學模型——差分方程。
可能大家對“差分方程”這個概念比較陌生,但是我們在之前的高等數學中一定都學過“微分方程”,這兩者的性值相近,但也有一定的區別。微分方程中的未知函數是連續型的、差分方程中的未知函數是離散型的,並且差分方程在經濟中的應用更加廣泛,比如:統計某經濟量、以天日爲單位的問題。
1.1 差分的概念
對於研究函數 y=f(t) 在 t 時刻的速度變化問題,我們可以分別用微分和差分來對其進行表示:
①微分:若函數 y=f(t) 爲連續函數,那麼在點 t 處的變化速度爲:👇👇👇(Δt 可以無限的趨近於0)
②差分:若函數 y=f(t) 爲離散函數,則在點 t 處的變化速度爲:👇👇👇(Δt 最小隻能爲1)
在差分中,Δt 取最小值也就是1的時候,所得到的結果就稱爲“差分”。
1.2 差分的定義
設 y=f(x) ,記爲 yx,其中 x(通常表示時間)的取值爲離散的等間隔整數值(x = 0,1,2,...),則 yx+1 - yx 稱爲函數 yx 在 x 處的差分,也稱一階差分,記爲:Δyx = yx+1 - yx(x = 0,1,2,...)
上面已經介紹完了“差分”的基本概念和定義,下面我們來看幾個求解函數的差分的小例子:👇👇👇
① yx = C;② yx = x³;③ yx = a^x
1. Δyx = yx+1 - yx = C - C = 0
2. Δyx = yx+1 - yx = (x+1)³ - x³ = 3x² + 3x + 1
3. Δyx = yx+1 - yx = a^(x+1) - a^x = a^x(a - 1)
對於第一題:常數的差分爲0
對於第二題:冪函數的差分次數降低1次
對於第三題:指數函數的差分是原指數函數的若干倍
1.3 差分的四則運算法則
1.4 高階差分
下面,我們來看一個求函數的高階差分的例題:👇👇👇
求 Δ(x²),Δ²(x²),Δ³(x²),題目的意思就是求函數 yx = x² 的一階差分、二階差分以及三階差分。
設 y = x²,則
Δyx = Δ(x²) = (x + 1)² - x² = 2x + 1
Δ²yx = Δ(Δyx) = Δ(2x + 1) = [2(x + 1) + 1] - (2x + 1) = 2
Δ³yx = Δ³(x²) = Δ(Δ²yx) = Δ(2) = 2 - 2 = 0
2.差分方程的概念
2.1 引例
已知電視機廠第 x 個月月初的庫存量爲 Rx,該月內生產、銷售的電視數量分別爲 m、n,則下月初的庫存量 Rx+1 是多少?對於這個問題,應該來說很簡單,下月初的庫存量就是 上月庫存量 + 上月生產量 - 上月銷售量。
即 Rx+1 = Rx + m - n,而這個方程就是——差分方程!!!
2.2 兩種定義與階
對於上面這兩種對差分方程的定義,其實是不矛盾的,我們在後面的學習應用中,更多的是採用第二張圖的定義方法。
下面是兩道例題,第一道是判斷差分方程的題,第二道是確定差分方程的階,大家可以參考着理解一下:👇👇👇
2.3 解的定義
若將已知函數 y=φ(x) 代入差分方程,使得方程兩邊稱爲恆等式,則稱此函數是差分方程的解。
2.4 通解、特解與特注
①通解:含有獨立的任意常數,且常數個數與差分方程的階數相同,這樣的解稱爲差分方程的通解。
②特解:不含有任意常數的解稱爲特解(或在通解中,給出任意常數以確定的值而得到的解稱爲差分方程的特解)。
③差分方程的解有一個重要性質——時滯性:差分方程中自變量超前或滯後相同的時間間隔,而方程結構不變,則由此得到的新方程與原方程有相同的解,換句話說,新老方程爲同解方程。如下圖所示:👇👇👇
3.常係數線性差分方程
3.1 常係數線性齊次差分方程
比如,我們對於一個差分方程:x3 - 2x2 + 3x1 = 0,它的特徵方程爲:λ² - 2λ + 3 = 0。
3.1.1 特徵根爲單根
3.1.2 特徵根爲重根
3.1.3 特徵根爲復根
3.2 常係數線性非齊次差分方程
4.差分方程的平衡點及其穩定性
4.1 一階線性常係數差分方程的平衡點
4.2 一階線性常係數差分方程組的平衡點
4.3 二階線性常係數差分方程的平衡點
4.4 一階非線性差分方程的平衡點
5.案例分析(市場經濟中的蛛網模型)
5.1 問題背景
這個問題中主要研究的是,供求關係是如何隨着價格的變化而變化的。