GPS從入門到放棄（九） --- 僞距與載波相位

GPS從入門到放棄（九） — 僞距與載波相位

在第一篇GPS基礎原理講過GPS的基本原理，要實現定位，需要知道衛星的位置和衛星到接收機的距離。衛星位置我們根據導航電文可以推算出來（參考GPS衛星位置解算），剩下的就是距離了。

GPS接收機對每顆衛星都可以產生兩個基本距離測量值：僞距和載波相位，下面先分別說，再結合起來說。

僞距（Pseudo Range）

僞距就是接收機到衛星之間的大概距離。之所以稱之爲僞距，是因爲其不是真實距離，與真實距離之間有各種各樣的誤差。本來根據衛星信號的發射時間 $t_s$ 與接收機收到信號的接收時間 $t_u$ 可以得到信號的傳播時間，再乘以信號的傳播速度光速 $c$ 就可以得到接收機到衛星的距離；但是我們知道衛星時鐘和接收機鍾存在鐘差，而且還有大氣層等其他因素的影響，所以這樣直接測得的距離不等於接收機到衛星的真實距離，只能稱之爲僞距 $\rho$ ：
$\rho = c(t_u-t_s)$
假設真實距離爲 $r$，接收機與 GPS 時間的鐘差爲 $\delta_t$，衛星與 GPS 時間的鐘差爲 $\delta_{t,s}$，再考慮到信號在傳播過程中經過大氣層的延時，假設因大氣電離層導致的延時爲 $I$，因大氣對流層導致的延時爲 $T$，其他各種未考慮到的因素及噪聲的導致的延時爲 $\epsilon$，則：
$r = c[(t_u-\delta_t)-(t_s-\delta_{t,s}) - I - T - \epsilon]$
於是可得：
$r + c\cdot\delta_t = \rho + c\cdot\delta_{t,s} - cI - cT -c\epsilon$
該式右邊可以認爲都是已知量，其中 $I$ 和 $T$ 都有相應的模型，$\delta_{t,s}$ 也有模型在導航電文中（參考GPS導航電文）。而
$r = \sqrt{(x-x_{s})^2 + (y-y_{s})^2 + (z-z_{s})^2}$
其中 $(x_s,\ y_s,\ z_s)$ 爲衛星位置座標，
於是有
$\sqrt{(x-x_{s})^2 + (y-y_{s})^2 + (z-z_{s})^2} + c\cdot\delta_t = \rho + c\cdot\delta_{t,s} - cI - cT -c\epsilon$
這就是更加嚴格準確的GPS定位基本方程，包含 $(x,\ y,\ z,\ \delta_t)$ 四個未知數，針對四顆衛星觀測就可以得到4個方程的方程組，可以與第一篇中最後給出的方程組對比一下。

那這個僞距觀測量 $\rho$ 我們怎麼來得到呢？一般來說，可以由接收機通過觀測得到。根據僞距計算公式 $\rho = c(t_u-t_s)$，$t_u$是接收機時間，接收機是知道的，所以我們只需要求出 $t_s$ 就可以了。

$t_s$ 是衛星發送信號的時間，可由接收機接收到的導航電文結合跟蹤的C/A碼相位來確定。計算公式如下：
$t_s = TOW + (30w + b) \times 0.02 + (n + \frac{CP}{1023}) \times 0.001$
其中 $TOW$ 爲導航電文交接字中GPS時間；$w$ 爲當前子幀中，接收機已接收到的完整的字的個數；$b$ 爲當前字中，接收機已接收到的完整的比特的個數；$n$ 爲當前比特中，接收機已接收到的完整的C/A碼的個數；$CP$ 爲當前C/A碼中，接收機已接收到的碼片的個數。要注意，這個 $t_s$ 是用衛星時鐘的。

一般接收機對C/A碼相位的跟蹤精度可以達到碼片的1% ~ 2%，一個碼片是300m左右，於是僞距精度可以達到3 ~ 6m左右。

載波相位（Carrier Phase）

除了通過僞距來測距之外，載波相位也可以用來測距。

我們知道L1載波的的頻率爲1575.42MHz，波長約爲19cm。如果我們能測量出傳播路徑上兩點之間的相位差，那麼這兩點間的距離就可以求出來。假設 $\phi_u$爲接收機複製的衛星載波信號的相位，$\phi_s$爲接收機接收到的衛星載波信號的相位，則載波相位測量值（相位差）爲
$\phi = \phi_u - \phi_s$
因爲載波的波長很短，遠遠小於接收機到衛星的距離，信號傳到地球中間過程可能產生整數個（N個）週期的差別，這個 N 我們稱之爲周整模糊度。設波長爲 $\lambda$，接收機與衛星之間的距離爲 $r$，則有
$\phi = \lambda^{-1} r + N$
若再考慮大氣電離層導致的延時 $I$、大氣對流層導致的延時 $T$、接收機鐘差 $\delta t_u$、衛星鐘差 $\delta t_s$、以及其他各種未考慮到的因素及噪聲的導致的相位差 $\epsilon_\phi$，則有
$\phi = \lambda^{-1}[r + c(\delta t_u-\delta t_s - I + T)] + N + \epsilon_\phi$

如果知道僞距 $\rho$，我們可以用僞距來粗略估算周整模糊度 N，方法爲：
$N = \left[\phi - \frac{\rho}{\lambda} \right]$
其中，“[ ]”表示取整運算。當然，因爲僞距的精度有限，所以得到的 N 的誤差也比較大，可以達到幾十周之多。

僞距和載波相位結合

從前面的介紹可以看出，僞距精度不如載波相位高，但是僞距可以實現絕對定位，而載波相位有一個未知的周整模糊度，無法實現絕對定位，如果能把兩者結合起來，必然能達到更好的效果。
一種結合的方法是用載波相位來平滑僞距。設 $\rho_k$ 爲 k時刻的僞距測量值，$\phi_k$ 爲 k時刻的載波相位測量值，$\rho_{s,k}$ 爲 k時刻的平滑僞距，有：
$\rho_{s,k} = \frac{1}{M} \rho_k + \frac{M-1}{M} [\rho_{s,k-1} + \lambda(\phi_k - \phi_{k-1})]$
其中 $M$ 爲平滑時間常數，$M$ 值越大，平滑僞距結果就越依賴於載波相位變化量，也就越平滑。