時間序列預測

時間序列預測

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相關概念

時間序列

時間序列中連續的、不同時刻的隨機變量，他們彼此之間都有一定的相關性
按照時間的順序把事件變化發展的過程記錄下來就構成了一個時間序列

時間序列預測

對時間序列進行觀察、研究，找尋它變化的規律，預測它將來的走勢就是時間序列分析

相空間重構

如果一個時間序列是由一個確定性的非線性動力系統產生的，則由時間序列來恢復並刻畫原動力系統稱爲相空間重構

相空間重構，即由時間序列恢復原系統最常用的方法是Takens延遲嵌入定理，也稱Takens Theorem（Takens定理）

Takens Theorem（Takens定理）：從一個未知的、確定的動力系統所產生的時間序列能夠重構出該未知系統的動力學形式

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相空間重構

基本思想

系統由n 個變量組成，其中任一分量的演化都是由與之相互作用的其他分量所決定的，因此n 個變量的信息就隱含在任一分量的發展過程中。當然這個說法並不是很準確，比如系統是不可觀測的。
爲了重構一個等價的狀態空間，只需考察一個分量，並將它在某些固定的時間延遲點上的測量作爲新的維度，它可以將原系統的許多性質保存下來。

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問題描述

對於一個非線性，通過觀測，得到一組測量觀測值{x(t),t=1,2,…,n} ，由此可以構造一組m 維向量

X(t)=[x(t),x(t−T),…,x(t−(m−1)×T)]

參數

T 取樣週期

m 嵌入維數

X(t) 相空間重構

計算嵌入相空間維數大小的一個基本命題.它是重構相空間技術的理論依據.混沌應用的一個重要問題就是從單個變量的時間序列重新構造一個可包容該混沌運動的m 維相空間。
對於維數n究竟應該取多大的問題， 1980 年，塔肯斯(Takens,F.)先後證明了所需維數m 大小的嵌入定理，即Takens定理

爲了保證該相空間容納該狀態空間原來吸引子的拓撲特徵，如果原來吸引子處在一個d 維空間中，那麼，將該吸引子嵌入其中的相空間維數必須達到m≥2d+1 .

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舉例

Henon映射

{x(k+1)y(k+1)=1−1.4x2(k)+y(k)=0.3x(k)

該系統有兩個狀態變量，但如果觀測到狀態變量x(k) 的信息，則可以從x(k) 建立元系統的模型
對狀態變量x(k) 進行相空間重構z(k)=(x(k),x(k−T)) ，則由z(k) 可以重構原來的系統

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Lorenz系統

⎧⎩⎨x˙y˙z˙=σ(y−x)=x(r−z)−y=xy−bz

取σ=10 ，r=28 ，b=8/3 ，初值x0=15.34 ，y0=13.68 ，z0=37.91
如果只觀測變量x 的值，利用x 作相空間重構
取延遲，即取樣週期爲9，嵌入維數爲3，即利用

[x(1),x(10),x(19)] 重構 [x(1),y(1),z(1)]

[x(2),x(11),x(20)] 重構 [x(2),y(2),z(2)]

結果
原系統(x,y,z)

重構後系統(x(t),x(t−T),x(t−2T))