如何計算時間複雜度
一、概念
時間複雜度是總運算次數表達式中受n的變化影響最大的那一項(不含係數) 比如:一般總運算次數表達式類似於這樣: a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f a ! =0時,時間複雜度就是O(2^n); a=0,b<>0 =>O(n^3); a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此類推
eg:
(1) for(i=1;i<=n;i++) //循環了n*n次,當然是O(n^2) for(j=1;j<=n;j++) s++; (2) for(i=1;i<=n;i++) //循環了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2,因爲時間複雜度是不考慮係數的,所以也是O(n^2) for(j=i;j<=n;j++) s++; (3) for(i=1;i<=n;i++) //循環了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,當然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++) s++; (4) i=1;k=0; while(i<=n-1) { k+=10*i; i++; } //循環了 n-1≈n次,所以是O(n)
(5)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
for(k=1;k<=j;k++)
x=x+1;
循環了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(這個公式要記住哦)≈(n^3)/3,不考慮係數,自然是O(n^3)
注:上述計算是粗略計算,實際應該是:1/2*(1^2+2^2+...+n^2 + n*(n+1)/2)
另外,在時間複雜度中,log(2,n)(以2爲底)與lg(n)(以10爲底)是等價的,因爲對數換底公式:
log(a,b)=log(c,b)/log(c,a) 所以,log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉係數,二者當然是等價的
二、計算方法
1.一個算法執行所耗費的時間,從理論上是不能算出來的,必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試,只需知道哪個算法花費的時間多,哪個算法花費的時間少就可以了。並且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例,哪個算法中語句執行次數多,它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱爲語句頻度或時間頻度。記爲T(n)。 2.一般情況下,算法的基本操作重複執行的次數是模塊n的某一個函數f(n),因此,算法的時間複雜度記做:T(n)=O(f(n))。隨着模塊n的增大,算法執行的時間的增長率和f(n)的增長率成正比,所以f(n)越小,算法的時間複雜度越低,算法的效率越高。 在計算時間複雜度的時候,先找出算法的基本操作,然後根據相應的各語句確定它的執行次數,再找出T(n)的同數量級(它的同數量級有以下:1,Log2n ,n ,nLog2n ,n的平方,n的三次方,2的n次方,n!),找出後,f(n)=該數量級,若T(n)/f(n)求極限可得到一常數c,則時間複雜度T(n)=O(f(n))。
3.常見的時間複雜度
按數量級遞增排列,常見的時間複雜度有: 常數階O(1), 對數階O(log2n), 線性階O(n), 線性對數階O(nlog2n), 平方階O(n^2), 立方階O(n^3),..., k次方階O(n^k), 指數階O(2^n) 。 其中, 1.O(n),O(n^2), 立方階O(n^3),..., k次方階O(n^k) 爲多項式階時間複雜度,分別稱爲一階時間複雜度,二階時間複雜度。。。。2.O(2^n),指數階時間複雜度,該種不實用 3.對數階O(log2n), 線性對數階O(nlog2n),除了常數階以外,該種效率最高 例:算法: for(i=1;i<=n;++i) { for(j=1;j<=n;++j) { c[ i ][ j ]=0; //該步驟屬於基本操作 執行次數:n^2
for(k=1;k<=n;++k) c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //該步驟屬於基本操作 執行次數:n^3 } } 則有 T(n)= n^2+n^3,根據上面括號裏的同數量級,我們可以確定 n^3爲T(n)的同數量級 則有f(n)= n^3,然後根據T(n)/f(n)求極限可得到常數c 則該算法的 時間複雜度:T(n)=O(n^3)
四、
定義:如果一個問題的規模是n,解這一問題的某一算法所需要的時間爲T(n),它是n的某一函數 T(n)稱爲這一算法的“時間複雜性”。 |