BZOJ1597: [Usaco2008 Mar]土地購買

Description

農夫John準備擴大他的農場,他正在考慮N (1 <= N <= 50,000) 塊長方形的土地. 每塊土地的長寬滿足(1 <= 寬 <= 1,000,000; 1 <= 長 <= 1,000,000). 每塊土地的價格是它的面積,但FJ可以同時購買多快土地. 這些土地的價格是它們最大的長乘以它們最大的寬, 但是土地的長寬不能交換. 如果FJ買一塊3x5的地和一塊5x3的地,則他需要付5x5=25. FJ希望買下所有的土地,但是他發現分組來買這些土地可以節省經費. 他需要你幫助他找到最小的經費.

Input

* 第1行: 一個數: N

* 第2..N+1行: 第i+1行包含兩個數,分別爲第i塊土地的長和寬

Output

* 第一行: 最小的可行費用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100

輸入解釋:

共有4塊土地.

Sample Output

500

HINT

FJ分3組買這些土地: 第一組:100x1, 第二組1x100, 第三組20x5 和 15x15 plot. 每組的價格分別爲100,100,300, 總共500.

記長爲x, 寬爲y，我們以X（或Y）排序，一個比較容易想到的dp方程爲(記f[i]爲前i個矩形的最小可行費用)，f[i] = min(f[i], f[j] + x[i] * max(y[j + 1], y[j + 2]... y[i]))

這個DP是N^2的，而且由於MAX的存在我們完全無法優化。

把長寬抽象成平面上的點，則一個點左下角的點可以被這個點覆蓋，也就是說我們可以刪除一個點左下角的所有點，這不影響答案。

然後我們可以去掉DP中的MAX，f[i] = min(f[i], f[j] + x[i] * y[j + 1]) (此時y[j + 1]必然是(y[j + 1], y[j + 2]... y[i])中的最大值)。

這個DP像什麼？

我們考慮對於i的2個決策狀態j和k，假設f[j] + x[i] * y[j + 1] <= f[k] + x[i] * y[k + 1],我們對這個式子進行化簡f[j] - f[k] <= x[i](y[k + 1] - y[j + 1])    
(f[j] - f[k])/(y[k + 1] - y[j + 1]) <= x[i]這東西是不是很像斜率？

那麼我們就可以用一個隊列維護斜率，保證隊頭2個點的直線斜率小於等於x[i]，否則彈出隊頭，然後f[i]的最優的那個j實際就是q[隊頭]，然後我們考慮加入一個點，因爲這題的斜率滿足單調遞增，若是不滿足則刪除隊尾，最後把i加入隊尾。

附上代碼：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXX = 50005;
int sum[MAXX * 40];
int n, i, j, k, l, q[MAXX], x[MAXX], y[MAXX], len;
long long f[MAXX];
bool b[MAXX];
struct sb{
	int x, y;
};
sb a[MAXX];
inline int get()
{
	char c;
	while ((c = getchar()) < 48 || c > 57);
	int res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= 48 && c <= 57)
	res = res * 10 + c - 48;
	return res;
}
inline bool rule(const sb &a, const sb &b)
{
	return (a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y));
}
inline void insert(int x)
{
	for(int i = x; i <= 1000001; i += (i & -i))
		sum[i] ++;
}
inline int find(int x)
{
	int tot = 0;
	for(int i = x; i >= 1; i -= (i & -i))
		tot += sum[i];
	return tot;
}
inline double xie(int i, int j)
{
	return (double)(f[i] - f[j]) / (double)(y[j + 1] - y[i + 1]);
}
int main()
{
	cin >> n;
	for(i = 1; i <= n; i ++)
		a[i].x = get(), a[i].y = get();
	sort(a + 1, a + 1 + n, rule);
	for(i = n; i >= 1; i --)
	{
		if (find(1000001) - find(a[i].y - 1) != 0) b[i] = 1;
		insert(a[i].y);
	}
	for(i = 1; i <= n; i ++)
		if (!b[i]) x[++len] = a[i].x, y[len] = a[i].y;
	int t = 1, w = 1;
	for(i = 1; i <= len; i ++)
	{
		while (t < w && xie(q[t + 1], q[t]) <= (double)x[i]) t ++;
		f[i] = f[q[t]] + x[i] * (long long)y[q[t] + 1];
		while (t < w && xie(q[w], q[w - 1]) >= xie(i, q[w])) w --;
		q[++w] = i;
	}
	cout << f[len] << endl;
}