[DP]51 Nod——[1048 整數分解爲2的冪 V2]

題目描述

給定正整數N，求N分解成若干個2的次冪的方案數。

N<=1030

解題思路

之前寫過O(n) ,看到這個數據範圍瞬間就恐懼了。

將N表示成一個二進制數，對於每個ai=1 ，都有一段區間的和剛好等於2ai

我們考慮如何構造區間

設g[i][j] 表示前i個位置，最大數是2j 的方案數

很快得到遞推式g[i][j]+=g[i−1][k]∗f[ai−k][j−k]

f[i][j] 表示求構造2i 最大數爲2j 的方案數，−k 的原因是後來放的數需要>=2k

f[i][j] 構造方式類似

於是這題效率變成log3(n) ,看似很穩但是要寫高精，耐心卡常吧

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=105,maxm=150,tt=1e9;
struct jz{
    LL x[maxm];
}f[maxn][maxn],g[maxn][maxn],ans;
int n,m,a[maxn],tot;
char s[maxn];
LL b[maxn];
inline int max(int x,int y){if (x>y) return x;return y;}
jz add(jz a,jz b){
    jz c;memset(c.x,0,sizeof(c.x));
    c.x[0]=max(a.x[0],b.x[0]);
    for (int i=1;i<=c.x[0];i++){
        c.x[i]+=a.x[i]+b.x[i];
        if (c.x[i]>=tt) c.x[i+1]++,c.x[i]-=tt;
    }
    if (c.x[c.x[0]+1]>0) c.x[0]++;
    return c;
}
jz mul(jz a,jz b){
    jz c;memset(c.x,0,sizeof(c.x));
    c.x[0]=a.x[0]+b.x[0]-1;
    for (int i=1;i<=a.x[0];i++)
    for (int j=1;j<=b.x[0];j++){
        c.x[i+j-1]+=a.x[i]*b.x[j];
        c.x[i+j]+=c.x[i+j-1]/tt;
        c.x[i+j-1]%=tt;
    }
    if (c.x[c.x[0]+1]>0) c.x[0]++;
    return c;
}
void work(){
    int j=1;
    while(j<=m){
        a[++n]=b[m]%2;
        for (int i=j;i<=m;i++){
            b[i+1]=(b[i]%2*10+b[i+1])%tt;
            b[i]>>=1;
        }
        if (!b[j]) j++;
    }
}
int main(){
    freopen("exam.in","r",stdin);
    freopen("exam.out","w",stdout);
    scanf("%s",s+1);m=strlen(s+1);
    for (int i=1;i<=m;i++) b[i]=s[i]-48;work();
    for (int i=0;i<=n;i++){
        for (int j=0;j<i;j++)
        for (int k=0;k<=j;k++)
        f[i][j]=add(f[i][j],mul(f[i-1][k],f[i-1-k][j-k]));
        f[i][i].x[0]=f[i][i].x[1]=1;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)if (a[i]){
        tot++;
        if (tot==1) for (int j=0;j<=i;j++) g[1][j]=f[i-1][j];else
        for (int j=0;j<i;j++)
        for (int k=0;k<=j;k++)
        g[tot][j]=add(g[tot][j],mul(g[tot-1][k],f[i-1-k][j-k]));
    }
    ans.x[0]=1;for (int i=0;i<=n;i++) ans=add(ans,g[tot][i]);
    printf("%d",ans.x[ans.x[0]]);
    for (int i=ans.x[0]-1;i;i--)
    for (int j=1e8;j;j/=10) printf("%d",ans.x[i]/j),ans.x[i]%=j;
    return 0;
}