【湖南集訓3.30】sanrd

題目描述

給出一個n 個點m 條邊的無向圖H 。

定義圖A 和B 的乘積A×B 是一個無向圖G ，其點集V={(x,y)|x∈A,y∈B} ，邊集E={((u,v),(u′,v′))|u=u′且v⊕v′=2k或v=v′且u⊕u′=2k(k≥0)}

要求你把H 分解爲C×D ，其中D 的點數爲2p （從0 開始編號），D 中兩個點間有連邊，當且僅當兩個點的標號的異或值是2 的冪。

n,m≤105

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分析

實際上這個題把題面要求的東西讀懂了，就很好做。

其實D=(0−1)k ，也就是隻有0,1 兩個點時得到的圖的若干次冪。
考慮乘上一個(0−1) 代表了什麼，實際上代表把原圖複製一份，對應點之間連邊。
那麼對應的，我們每次嘗試把圖H 分解成兩個完全相同的圖，而且兩個圖存在的連邊只能是一一對應的點。
我們假如枚舉了一條層間邊，其他的層間邊也可以被馬上確定。
那麼應該要枚舉哪條層間邊呢？考慮枚舉度數最小的點，它的度數不會超過n−−√ ，因此，每次選取度數最小的點進行枚舉，O(n) 判斷可行性，找到某種可行方案時向下遞歸就好了。

考慮時間複雜度，Tn=2Tn2+nn−−√
於是總的時間複雜度是O(nn−−√logn)