【SDOI2013】項鍊

題目描述

問滿足以下要求的項鍊數有多少，答案對109+7 取模，共T 組數據。

• 項鍊由n 顆珠子構成。
• 每顆珠子爲正三棱柱，每個側面上都有一個正整數x ，滿足x<m ，並且三個面上的數字的最大公約數爲1 。珠子被認爲是相同的，當且僅當數字序列可以通過旋轉或翻轉相互得到。
• 相鄰兩顆珠子不可以相同。
• 兩串項鍊假如可以通過旋轉相互得到，那麼是被認爲是相同的。

n≤1014,m≤107,T≤10

---

分析

這道題結合了許多的數論知識。
首先題目可以大體上分爲兩個部分：不同的珠子數、不同的項鍊數。

Part 1

如何求不同的珠子數呢？
實際上珠子相當於一個三元組(x,y,z) ，記不同珠子類型數爲ret
這裏珠子的所有置換構成置換羣G ，那麼根據burnside 引理

ret=∑x∈Gf(d)|G|
而通過暴力枚舉G 的元素，我們可以發現G 中有1 個置換由3 個輪換組成，3 個置換由2 個輪換組成，2 個置換由1 個輪換組成。
那麼問題就轉化爲了統計最大公約數爲1 的有序三元組、二元組及一元組數目。

以統計三元組爲例：
考慮記gn 表示最大公約數至少爲n 的三元組數目。
記fn 表示最大公約數爲n 的三元組數目。

gn=∑n|dfd=(⌊mn⌋)3

由前面寫過的文章中

然而這個形式不僅僅侷限於此，考慮以下等式。
F(n)=∑n|df(d)
那麼
f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)
也是成立的。
我們不妨倒過來想，原來的莫比烏斯反演是約數的形式，那麼此時變成了倍數的形式以後基本思想還是不變的，上面的式子還是挺容易理解的。

可以得到這裏的

fn=∑n|dμ(dn)gd

特別的

f1=∑ni=1μ(i)gi

於是再通過上面burnside 引理的式子就可以計算不同的珠子類型數了。
gi 是可以O(1) 算的，重點是在於處理μ

part 2

項鍊的旋轉同構顯然也構成了一個置換羣G′ ，且|G′|=n
記不同的珠子類型數爲p 。根據polya 定理，不同的項鍊數ans

ans=∑d∈G′pf(d)|G′|

其中G′ 中的置換f(k) ，其輪換數爲(n,k)
然而這裏它存在對染色的限制：相鄰的染色不能相同。
不妨記h(n) 表示對n 組輪換染色的方案數。那麼就有

h(n)=(p−1)h(n−2)+(p−2)h(n−1)
矩陣乘法即可。

然而我們直接枚舉k ，每次都矩陣乘法顯然是不行的。
考慮枚舉gcd ，原式就變成了

∑ngcd=1h(gcd)φ(ngcd)

因爲gcd 必然是n 的約數，直接枚舉約數，φ(ngcd) 也可以順便統計出來。

時間複雜度O(d(n)logn) ，其中d(n) 是n 的約數個數。
空間複雜度O(m)