【Codechef】B-Tree

題目描述

給出一棵n 個點的樹，邊權都爲1 ，以及m 個詢問，每一個詢問形式如下：

給出k 個點的集合S={a1,a2,⋯,ak} ，以及每一個點的控制範圍rai 。
一個點p 稱爲被控制的，當且僅當∃x∈S,dis(x,p)≤rx
問有多少個點被控制。

n,Q≤5×104,∑k≤5×105

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分析

part 1 簡化的問題

不妨先看當k=1 時，問題變成怎麼樣的了。

給出一棵樹，每次詢問距離點x 的距離小於r 的點的個數。

考慮點剖，每一個重心上存點剖子樹中所有點，按照離重心距離爲關鍵字建桶。
那麼只需要在點剖樹上，從x 往上跳，沿路統計答案就可以了。
但是注意可能會有重複計算。但是考慮點剖樹上某個點只有logn 個祖先，將它們記錄下來，逐個減去重複計算的就可以了。
時間複雜度O(log2n)
但是假如我們加入無用白點，那麼這裏可以O(1) 地解決重複問題（只考慮另外兩個兒子就可以了）
時間複雜度O(logn)

邊剖也是類似的，不過相對來說更加好寫一點。

part 2 原問題的分解

擴展到多點 虛樹

當k>1 時，我們可以引入虛樹和控制範圍的概念，從而將原問題轉化。

虛樹的構建可以利用歐拉序，首先先將每兩個相鄰的關鍵點之間最近公共祖先都加入進去。然後維護一個棧，每加入一個點，就不斷退棧，直到棧頂是它的某個祖先，然後將棧頂與這個點連邊，最後將這個新點壓入棧。

首先先構建出這k 個點的虛樹，那麼虛樹中的每個點x ，它的控制範圍lx=max0≤y<nly−disx,y ，每個點的歸屬belongx 自然就是任意一個取得最大lx 的y 。
爲了統一，假如某個點不被控制，不妨將lx 賦爲0 ，belongx 賦爲n 。
用spfa可以快速地計算出每個點的控制範圍。

然後問題的答案就等於虛樹上的每條邊的答案之和。

單條邊的處理方式

一條邊的答案正着算似乎不好處理，用所有的虛樹上點的控制範圍點數和，減去重複的部分，也可以得到原來的答案。

• 性質一：設(x,y) 是虛樹上的一條邊，那麼當且僅當belongx≠belongy 時，纔會在這條邊上出現重複。
  證明：顯然。
• 性質二：對於滿足性質一的邊，存在唯一的z∈path[x,y] ，使得path[x,z] 上的點都屬x 管劾，path(z,y] 上的點都屬y 管劾。
  證明：
  不妨令depx<depy ，那麼
  lx−dis(x,z)≤ly−dis(z,y)
  lx−(depz−depx)≤ly−(depy−depz)
  depx+depy+lx−ly≤2depz
  ⌈depx+depy+lx−ly2⌉≤depz
  由上面這條式子，就可以知道z 唯一確定了一條邊之間兩個點的管劾範圍。

part 3 更深入的分析

通過這樣的劃分以後，我們計算答案的思路就變成下面兩步

• 假如某個點在新圖中存在勢力範圍，那麼統計它勢力範圍內的點數，將其求和。

• 對於每條兩個端點的統治勢力不同的點，計算它們重疊部分並減去之。

對於第一個問題，套用“簡化的問題”的思路，就可以簡單地解決了。
對於第二個問題，實際上就是要統計距離不在點z 子樹內，離z 距離小於等於lz 的點數，以及在z 的子樹中，離點z 的距離小於等於lu−dis(z,u) 的點數。

那麼對於第二個問題比較好的解決思路就是dfs序，因爲子樹都是dfs序中連續的一段，而不在子樹中必定是全段挖去中間的一小段。那麼我們只需要按dfs序構建主席樹，那麼就可以快速進行統計了。

那麼單次詢問的時間複雜度就是的時間複雜度O(klogn)

於是最終總的時間複雜度是O(nlogn+Qklogn)