【浙江集訓】wander

題目描述

給出一棵包含n 個點的森林。問按照以下規則行走，從u 走到v 的期望步數是多少。

行走的僞代碼如下：

count = 0

bool DFS( x, fa )
    if ( x==v ) return 1
    random_shuffle(e[x])
    for each y in e[x]   // which means that all the order of has the same possibility to be chosen
        ++count
        if ( DFS( y, x ) ) return 1
    ++count
    return -1

DFS( u, -1 )

要求實現Q 個操作，包括以下三種

• 在x 與y 之間修建一條道路，若此前x 與y 之間有路徑相連則無視此次操作
• 若x 與y 之間存在一條直接相連的道路，則去掉之
• 詢問從u 走到v 的期望步數

n≤105,Q≤2×105

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分析

首先分析一下要求的期望步數是個什麼東西。
讀懂僞代碼後發現它實際上是一個按照隨機順序遍歷這棵樹，直到遇到終點。
假如我們某一步走了岔路，那麼顯然要遍歷完這條岔路對應的整一棵子樹。那麼在每一個點上我們只關注終點所在子樹，以及它之前遍歷的有哪一些子樹。
不妨記E(x) 表示從x 走到v 的期望，當前所在的點爲x ，遍歷的順序爲p0,p2,⋯,pm ，終點所在子樹的根是y ，排在第k 位，sizex¯¯¯¯¯¯¯¯ 表示除通往y 的那棵子樹，其它子樹大小的平均數，於是

E(x)=∑mk=0(∑P,pk=y∑k−1i=0sizepi+E(pk)+1)(m+1)!=∑mk=0∑P,pk=y∑k−1i=02sizepi(m+1)!+E(y)+1
E(v)=0

從總體來看，E(y)+1 這一項在E(u) 中總共就恰好是u 到v 的路徑長度。

注意這一項

∑mk=0∑P,pk=y∑k−1i=02sizepi(m+1)!=∑mk=0∑P,pk=y∑k−1i=02sizepim!m+1=∑mk=0∑k−1i=02sizepik!∑pk+1⋯pm1(m−k)!m+1=∑mk=0∑k−1i=02sizepik!m+1

由於這裏取遍所有的滿足pk 爲通往終點的點的可能的順序，觀察一下

• 當k=0 時，分子爲0
• 當k=1 時，分子爲2sizex¯¯¯¯¯¯¯¯
• 當k=2 時，分子爲4sizex¯¯¯¯¯¯¯¯
• ⋯
• 當k=m 時，分子爲2msizex¯¯¯¯¯¯¯¯

於是這一項實際上是

m(m+1)sizex¯¯¯¯¯¯m+1=∑z≠ysizez

總的那一項，實際上就是以u 爲根的樹，減去v 爲根的子樹大小。

所以我們需要維護的東西就很明確了

• 子樹大小
• 連通性
• 支持動態加或刪邊

用LCT可以輕鬆解決後兩個問題。
但是LCT怎麼維護子樹大小呢？
不妨記linkx 表示當前形態的這棵樹x 代表的重鏈，最高的一個點的子樹大小（注意這裏要是指包括它本身和splay樹的兒子所形成的一段重鏈）。extrax 表示x 的所有虛邊連出的點它們的子樹大小和。那麼

• 在access 時，有可能將一個虛兒子變成重兒子，此時需要對extra 和link 做出一些調整
• 在splay 時需要對extra 做出一些調整
• 加邊時需要對extra 做出一些調整
• 刪邊時需要對link 做出一些調整

剩下任意的操作都不會對extra 和link 造成影響。
於是子樹大小求出來了，剩下的就是LCT的常規維護了。

時間複雜度O(nlogn)
空間複雜度O(n)