【GDOI 2016模擬3.9】暴走的圖靈機

題目描述

你有l 和r 兩個字符串，初始l="0",r="1" ，每輪操作定義如下。

• 將r 變成原來的l+ 原來的r ，這裏的+ 表示將兩個字符串連接起來
• 將l 變成原來的l

給定一個長度爲m 的匹配串s ，問操作n 次後，l 中包含了多少個s 作爲子串，答案對p 取模。

n≤109,m≤104,0<p≤109

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分析

類似於斐波那契數的斐波那契串，名字是我隨便取的。
考慮某輪操作完得到的新串S ，有S=l+r
那麼S 所包含的匹配串數（記爲VS ），有VS=Vl+Vr+C
其中C 表示跨過l,r 分界線的匹配串數。
那麼問題就變成如何求C 。
實際上考慮匹配串長度只有104 ，我們只要保留l 串的後m−1 位，以及r 串的前m−1 位，將它們拼在一起做一次KMP就可以的得到了。

但是這裏n 很大。
考慮假如不存在C ，求這個東西可以用矩陣乘法。
這裏存在C 了，但是當l 和r 的長度超過2m−2 時，兩者的前m−1 個字符和後m−1 個字符就基本不會變了（只會有四組可能的字符）。
於是我們先暴力算l 和r ，直到它們兩者的長度都至少爲2m−2
那麼這裏只需要找到循環節，算出循環那麼多次的轉移矩陣，利用矩陣乘法求出Vln 就可以了。

時間複雜度O(km+33logn) ，其中k 是滿足fibk≥2m−2 最小的一個。
空間複雜度O(m)