【GDOI 2016模擬3.16】圖計數

問題描述

記n 的正整數拆分方案數爲fn ，求mfn(mod999999599)

n,m≤105

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分析

首先一個很重要的地方就是冪應該要對φ(mod) 取模。

然後就是怎麼算正整數拆分。
其實這個本質上是一個完全揹包問題，其中物體的重量爲1 到n 。
考慮重量小於於n−−√ 的物體只有n−−√ 個，重量大於等於n−−√ 的物體只會選n−−√ 個。
那麼分開處理，然後合併揹包即可。

part1

記fi,j 表示前i 個物體，已加入重量爲j ，簡單DP 即可。

part2

記gi,j 表示已經加入了i 個物品，重量爲j 。
那麼這裏這樣子轉移。

gi,j=gi−1,j−⌈n√⌉+gi,j−i

其中加號以前表示加入一個重量爲⌈n−−√⌉ 的物體，以後的部分表示將之前加入的物體的重量全部加一。

剩下就是合併揹包了。

時間複雜度O(nn−−√)
空間複雜度O(n)