【GDKOI2016】小學生數學題（附帶了乘法取模黑科技）

題目描述

給定n,p,k ，其中p 是質數。
求∑ni=11i(modpk)
題目保證答案是PQ 的形式，且Q−1 ，即Q 對pk 的逆元存在。

npk≤1018
p≤105

---

分析

先考慮所有變量的範圍
k≤70
n≤1018

類似於求n!modp 的思路。

∑ni=11i=1p∑⌊np⌋i=11i+∑0<a<p,a+bp≤n1a+bp

那麼這個式子的計算就分成了兩個部分。

part 1

1p∑⌊np⌋i=11i(modpk)

假如我們可以處理好1p 的問題，那麼剩下的遞歸計算就可以了。
考慮計算

∑⌊np⌋i=11i(modpk+1)

那麼由於題目保證了答案逆元存在，所以

1p∑⌊np⌋i=11i=∑⌊np⌋i=11imodpk+1p(modpk)

分子必定含有p 的因子，具體證明的話，

a=b(modc)⇔ap=bp(modcp)

結合這個式子倒推一下就可以得到了。

part 2

∑0<a<p,a+bp≤n1a+bp

現在要處理的就是快速地計算∑(a+bp)−1
考慮按a 分組，推導

原式=∑⌊n−ap⌋b=01a+bp=∑⌊n−ap⌋b=011+bpaa(modpk)

考慮11−x=x0+x1+x2+⋯
那麼

原式=∑⌊n−ap⌋b=0∑+∞k=0(−bpa)ka=∑⌊n−ap⌋b=0∑+∞i=0(−bpa)ia(modpk)

由於括號內那項含p ，因此當i≥k 時，和式裏面的項就爲0 了。
考慮交換枚舉順序，則有

原式=∑k−1i=0(−pa)i∑⌊n−ap⌋b=0bia(modpk)

問題成功地轉化成了自然數冪求和問題，用矩陣乘法處理一下就可以了。

考慮時間複雜度。

T(n,k)=T(np,k+1)+k3+kP

因此總的時間複雜度上界約爲O(k3lognp+kPlognp)

---

備註

注意中間可能要有64位整數相乘後取模的過程。
用黑科技就可以跑得飛快了。

附一下黑科技的代碼

LL mult( LL A, LL B, LL Mo )
{
    LL temp = ( ( LL ) ( ( db ) A*B/Mo+1e-6 ) * Mo );
    return A*B - temp;
}