51nod 1040 最大公約數之和（容斥思想）

1040 最大公約數之和

題目來源： rihkddd

基準時間限制：1 秒 空間限制：131072 KB 分值: 80 難度：5級算法題

給出一個n，求1-n這n個數，同n的最大公約數的和。比如：n = 6

1,2,3,4,5,6 同6的最大公約數分別爲1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

Input

1個數N(N <= 10^9)

Output

公約數之和

Input示例

6

Output示例

15

題意很簡單。

思路：你可以確定的是1到n這些數字與n的gcd一定是n的約數，那麼n的約數，你先枚舉出來。

假如是n=20，那麼20的約數有：1,2,4,5,10,20；

 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20   （i）
 1  2  1  4  5  2  1  4  1 10   1   4   1  2   5   4   1  2   1 20   （gcd）

這些數字可以按照gcd的值進行分類。

1,2,4,5,10,20（及按約數分類，這一類有（20/約數）個）

1 2 4 5 10 20 （與20的gcd的剩餘值）（剩餘值：前面計算過的貢獻就減去，留下剩餘的gcd）

我先算約數爲1的哪一類，有哪些數字與20的gcd是1的倍數，就有20/1個數字，所以20/1*1及爲約數1的貢獻值，

因爲1算的是1-20中所有的數字都算了1，所有數字的gcd剩餘值都要減去1，因爲我已經把gcd分了類，所以只需要把這一類的gcd減去1即可，

及

1,2,4,5,10,20（及按約數分類）

1 1 3 4  9  19 （與20的gcd的剩餘值）因爲一部分1已經算過了，所以其他的gcd剩餘要算的值都減去1

然後算約數爲2的貢獻，有10個數字gcd是包含2的（如2,4,6,8，...20，那麼約數若是2的倍數，那麼就要減去2計算過的gcd），20/2*1，這個是2的貢獻

1,2,4,5,10,20（及按約數分類）

1 1 2 4  8  18（與20的gcd的剩餘值）（4,10,20這幾個約數是2的倍數所以gcd剩餘值要減去1（這個1是2與20剩餘的gcd））

然後算約數爲4的貢獻，有20/4個數字gcd是包含4的，20/4*2，這個是4的貢獻

1,2,4,5,10,20（及按約數分類）

1 1 2 4  8  16（與20的gcd的剩餘值）（20這個約數是4的倍數所以gcd剩餘值要減去2）

1,2,4,5,10,20（及按約數分類）

1 1 2 4  4  12（與20的gcd的剩餘值）

1,2,4,5,10,20（及按約數分類）

1 1 2 4   4   8（與20的gcd的剩餘值）

答案爲20/1*1+20/2*1+20/4*2+20/5*4+20/10*4+20/20*8=72

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<string>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
int s[100001],ls=0;//存約數
int k[100001];//gcd剩餘值
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i) continue;
        s[ls++]=i;
        if(i*i!=n) s[ls++]=n/i;
    }
    sort(s,s+ls);
    for(int i=0;i<ls;i++)
        k[i]=s[i];
    LL sum=0;
    for(int i=0;i<ls;i++)
    {
        sum+=(LL)k[i]*n/s[i];
        for(int j=i+1;j<ls;j++)
        {
            if(s[j]%s[i]) continue;
            k[j]-=k[i];
        }
    }
    printf("%I64d\n",sum);
}