計算一個整數的二進制表示有多少個1（別人的最快算法）

最近看了這篇文章 的第一道題

題目本意是怎麼判斷這段代碼的輸出

int func(x)
{
    int countx =0;
    while(x)
    {
          countx ++;
          x = x&(x-1);
     }
    return countx;
}

但深入一想，這不就是求任意整數的二進制表示裏有多少個1嗎？

要想解決上述問題，我能想到的最快方法是按位右移，累計每個移出的數，直到原數爲0

int func2(int x)
{
    int countx =0;
    while (x)
    {
        if (x & 1)
            countx ++;
        x = x >> 1;
    }
    return countx;
}

但是很明顯，我的算法在二進制表示含有較多中間0時，效率很低，而別人的算法就不存在該問題，而且沒有if分支判斷，避免CPU指令Cache miss，方便並行化

總之，該算法求解1個數，類似於輾轉相除法求最大公約數，都是基於某種數學原理，性能自然比愚蠢的枚舉不知道高到哪裏去了

該算法的原理，我晚上思考了下，覺得是對【判斷一個整數是否爲2的冪】算法的擴展應用

【判斷一個整數是否爲2的冪】算法

bool power_of_2(int x)
{
    if (0 == (x & x-1))
        return true;
    else
        return false;
}

該算法的思路是，如果整數i爲2的冪，則其二進制表示必然只有1位爲1，假設是第N位爲1，則0到N-1位必然爲0，且N+1到31位（假設是32位CPU）全零

令j = i-1，則j的二進制表示就是第N位爲0，0到N-1位全1，N+1到31位還是全零，

因爲減法需要從高位借位，對於2的冪整數，能借位的只有唯一的那個1，所以N位必然變爲0

又因爲減數爲1，所以0到N-1位必然全爲1

這樣i和j的【按位與】運算，必然等於0

將上述思路拓展

對於任意一個整數，都可以看成一系列冪的和，比如

520，就是512+8

1111，就是1024+64+16+4+2+1

當對該整數進行【減一】和【按位與】操作時，最低等級的冪先變爲零

然後再次執行【減一】和【按位與】操作，次低等級的冪也變爲零

以此類推，每次循環都將一個非零冪項清除（爲零的冪項不發生借位，所以自動忽略）

最後變爲全零，循環退出