信號與系統作業問題回覆

提問

老師好！我想請問幾個上週作業中的問題。

1. 作業第一題第三問中設置的中間變量爲什麼最後無法消除？實際表達式中可以保留中間變量嗎？
   第一道題第3小問離散時間系統框圖

2. 作業第5題的7,8小問中，從響應的表達式r(t)來看，t應該是變化量，而輸入信號一側e(τ)和t卻是分開在積分算式的兩個位置。那麼這時候判斷系統性質時輸入信號到底是t還是e(τ)呢？

$(7)\,\,\,\,\,r\left( t \right) = \int_{ - \infty }^t {e\left( \tau \right)d\tau }$
$(8)\,\,\,\,r\left( t \right) = \int_{ - \infty }^{5t} {e\left( \tau \right)d\tau }$

3. 作業最後一題中，多個系統級聯，那麼計算時輸入下一級系統中的信號應該是x[n]中的n，還是x[n]整體呢？（換句話說，就是對於輸入信號，應當把x[n]整體看做一個變量，還是把n看做一個變量呢？）
   三個子系統的輸入輸出關係

三個子系統的串聯關係

問題有些多，麻煩老師了……
 

回覆

第一個問題

對於第一道題第三小問中離散時間系統框圖，帶有兩個綜合器（加法器）。因此建立該系統輸入輸出差分方程的時候，需要將中間的節點設置臨時變量。假設第一個綜合器的輸出的臨時變量爲w[n]，那麼它後面兩個延時單元之後的節點臨時變量分別是w[n-1]，w[n-2]。

對系統框圖的兩個綜合器中間的節點設置臨時變量

由此可以根據第一個加法器（綜合器）建立x[n]與w[n]之間的差分方程：
$x\left[ n \right] = w\left[ n \right] + w\left[ {n - 1} \right] + {1 \over 2}w\left[ {n - 2} \right]$

根據第二個加法器建立y[n]與w[n]之間的差分方程：
$y\left[ n \right] = 2w\left[ {n - 1} \right] + 5w\left[ {n - 2} \right]$

下面將上面兩個方程中的臨時變量消去，獲得x[n]與y[n]之間的差分方程。爲了簡便起見，我們使用“延時算子”來將上面兩個差分方程修改成算子代數方程組：
${x\left[ n \right] = \left( {1 + D + {1 \over 2}D^2 } \right)w\left[ n \right]}$
${y\left[ n \right] = \left( {2D + 5D^2 } \right)w\left[ n \right]}$

將上面兩個算子代數方程相除，可以得到：
${{x\left[ n \right]} \over {y\left[ n \right]}} = {{1 + D + {1 \over 2}D^2 } \over {2D + 5D^2 }}$
因此：
$\left( {2D + 5D^2 } \right)x\left[ n \right] = \left( {1 + D + {1 \over 2}D^2 } \right)y\left[ n \right]$
由此可得：

$y\left[ n \right] + y\left[ {n - 1} \right] + {1 \over 2}y\left[ {n - 2} \right] = 2x\left[ {n - 1} \right] + 5x\left[ {n - 2} \right]$

通過設置中間臨時變量，是可以將中間變量消去。在最後的答案中，應該只包含有系統的輸入x[n]和輸出y[n]信號以及它們的各階延遲信號，構成後向差分方程。

第二個提問：

在第五題的(7),(8)小題中描述系統輸入輸出關係的表達式中，$e(t )$ 是系統輸入信號。$r(t)$ 是系統輸出信號。表達式表示系統的輸出是對輸入信號e(t)的積分。
$(7)\,\,\,\,\,r\left( t \right) = \int_{ - \infty }^t {e\left( \tau \right)d\tau }$
$(8)\,\,\,\,r\left( t \right) = \int_{ - \infty }^{5t} {e\left( \tau \right)d\tau }$
在積分表達式中，變量$\tau$是積分變量，變量 $t$ 是積分的上限，也就是積分運算的參數。最終積分結果是參數 $t$ 的函數。這就是系統的輸出。

在你的提問中，似乎將信號 $e(t)$ 的描述與信號的自變量 $t$ 混淆了。在積分始終，將 $e(t)$ 寫成 $e\left( \tau \right)$，是因爲積分變量是 $\tau$。

補充一下，對於第8小題，可以看出系統是由兩個子系統串聯而成，第一個子系統就是積分系統，也就是第7小題描述的系統，然後緊跟着一個尺度變化系統：將輸入信號壓縮5倍。

第8小題的等價系統框圖

第三個提問

我仔細揣摩你提問時心裏的 疑問，對於子系統串聯時，輸入信號是$x[n]$ 的整體，還是具體到一個個單獨的 n 所對應的 一個數值 x[n]。

我認爲這兩個中想法應該都對。
如果將x[n]當做整體通過三個子系統，那就是將整個系統對輸入信號的處理分成了三步：
第一步，將x[n]送入第一個子系統，按照題目中給定的描述，是將輸入信號通過補零擴充兩倍；
第二步將處理擴充完畢的結果在送入第二個子系統，按照題目中對第二個子系統的描述，就是對第一個子系統的輸出以及它的兩個延遲信號進行加權累加；
第三步將子系統2 的輸出在送入第三個子系統，即在重新抽點壓縮。
最後子系統3所得到的輸出應該是：

子系統3的輸出

這是整個系統的輸出與輸入x[n]之間的關係。它們應該是一個線性時不變的關係。

但是在實際系統運行過程中，信號是逐步通過三個子系統。這三個子系統是離散時間系統，它們同步進行協同工作。由於其中存在着對信號的擴充和壓縮，因此，它們工作的時鐘頻率會有差別。

第一個子系統的工作頻率和第二個子系統是相同的，由於第一個子系統是數據補零擴充，所以它們的輸出數據速率都是輸入數據x[n]速率的兩倍。

第三個子系統由於是壓縮，所以它的輸出數據的速率是前面兩個子系統速率的一半，也就是與輸入信號的速率相同。

最終系統的輸入輸出關於與前面整體分析的結果是一樣的。