00特殊情況說明

在2020年春季學期，由於受到Coronavirus-19的影響，考試採用網絡考試的形式：

通過網絡學堂分發試卷和收集答案；
考試通過騰訊會議進行監考過程；
考試時間6月13日下午2:30-4:45

在試卷的第一頁有“考試誠信承諾書”需要參試學生必須謄寫在答題紙上的第一頁。

^{▲ 網絡考試誠信承諾書試卷佈置情況}

01不定項選擇題答案表格

一、不定項選擇題：（10×1=10分，將答案寫在試卷前面的答案表格1中）

下面信號中，那些是能量有限信號？

2、下面信號中，那些是週期信號？

下面系統中，屬於時不變系統的包括哪些？其中 $x\left( t \right),x\left( t \right)$ 爲系統的輸入， $y\left( t \right),y\left[ n \right]$ 爲系統的輸出。

4、下面各圖中LTI系統函數的零極點分佈，所描述的幅頻特性爲帶阻系統爲：

5、已知LTI系統在 $x\left( t \right)$ 作用下系統零狀態輸出爲 $y\left( t \right)$ 。那麼在 $x_1 \left( t \right)$ 作用下，系統的零狀態輸出爲：

6、已知實信號 $x\left( t \right),y\left( t \right)$ 之間的關係爲

下面關於信號 $y\left( t \right)$ 的頻譜 $Y\left( \omega \right)$ 敘述正確的是：

7、下面半邊週期衝激序列的拉普拉斯變換爲：

8、可能與下面s平面區域對應的z平面區域爲（）：
9、如果模擬信號在採樣頻率 $\omega _s$ 下進行採樣，轉換成數字信號。那麼其中模擬頻率爲 ${{\omega _s } \over 3}$ 的信號在採樣後對應的數字信號頻率（歸一化頻率）爲：

10、下面週期信號中的頻率成分包括有：

02判斷對錯題答案表格

1、如果 $x\left( t \right)$ 的Nyquist頻率爲 $\omega _N$ ，那麼 $x^2 \left( t \right)$ 的Nyquist頻率爲 $2 \cdot \omega _N$ 。

2、不存在信號本身與它的頻譜都是有限長的信號。

3、有限衝激響應（FIR）濾波器的傳遞函數的分母是常量。

4、如果一個線性時不變離散時間系統的系統函數的收斂域包含單位圓，則系統是BIBO穩定的。

5、如果穩定最大相位的LTI系統函數具有靠近虛軸的零點，那麼在零點對應虛軸所在的頻率附近，系統的幅頻特性有一個低谷，相位呈現下降趨勢。

03填空題

1、已知兩個序列 $u\left[ n \right],v\left[ n \right]$ 的波形如下圖所示，請寫出它兩的卷積 $w\left[ n \right] = u\left[ n \right] * v\left[ n \right]$ 在 $n = 2$ 時的取值： $w\left[ 2 \right] = \,\,\,1$ .

2、一個線性時不變系統的輸入輸出分別 $x\left( t \right),y\left( t \right)$ ，它們之間的關係可以由下面的微分方程所描述：

其中 $w\left( t \right)$ 是中間變量。
那麼該系統的系統函數爲________。

系統的單位衝激響應 $h\left( t \right) = - \sin \left( t \right) \cdot u\left( t \right)$ 。

3、知信號 $x\left( t \right)$ 的波形如下圖所示，則該信號的拉普拉斯變換的表達式和響應的收斂域爲：

收斂域爲整個s平面。

4、已知連續時間LTI系統的單位衝激響應信號波形如下圖(A)_{(F)所示，在下圖後面給出了六種零極點分佈示意圖(1)}(6)，請按照(A)~(F)對應單位衝激響應波形寫出對應系統零極點分佈順序:（4），（5），（6），（1），（2），（3）。

5、已知離散時間LTI系統的零極點分佈如下面(1)_{(6)圖所示意。在下圖後面又給出了六種單位衝激響應序列波形圖(A)}(F)。請寫出(1)~(6)種零極點分佈所對應的系統單位衝激響應序列的順序：（D）,（E），（F），（A），（B），（C）。

6、已知離散時間序列 $x\left[ n \right]$ 的表達式爲： $x\left[ n \right] = \sum\limits_{k = 0}^\infty {a^k \delta \left[ {n - 5k} \right]}$ ，對應序列的圖像爲：

該序列信號的Z變換：

7、如果正弦波 $x_a \left( t \right) = \cos \left( {50t} \right)$ 被採樣，採樣頻率爲 $\omega _s = 30\,rad/s$ 。採樣後的數據再經過DAC（數模轉換）被轉換成模擬信號。DAC的轉換速率也是 30 rad/s。那麼轉換後重構的正弦信號的頻率爲： 10 rad/s 。

8、已知信號 $x\left( t \right)$ 的拉普拉斯變換爲:

則信號的初值 $x\left( {0_ + } \right) = - 3$ ，信號的終值： $x\left( { + \infty } \right) = 0.5$ 。

04簡答題

1、請解釋什麼叫做"吉布斯現象"，舉例說明與"吉布斯現象"相關的物理現象。
"吉布斯現象"的一種解釋：使用週期信號的有限項頻譜合成的信號，如果原來的週期信號有間斷點，合成信號在間斷點出有過沖。過沖幅值大約是信號間斷點跳躍幅值的9%左右。隨着合成項數增加，過沖幅值維持在9%左右

舉例：可以結合在現實生活中對應的有限帶通系統在觀察信號所出現的“振鈴”現象進行說明，或者通過物理中的傅里葉光學現象來闡述光的衍射現象等。

2、請解釋什麼叫做"頻率泄露"，並說明如何減少頻率泄露現象對信號分析的影響。
對信號進行截取，截取後的信號頻譜會出現"頻率泄露"現象。信號頻譜的高頻段和低頻段都會出現波動，並會出現過渡帶。
下圖顯示了截取的sinc函數所對應的頻譜出現的"頻率泄露"現象。

回答體重需要包括產生“頻率泄露”的原因來自於對信號的截取；“頻率泄露”的現象反映在頻譜的波動以及有過渡帶等方面。
在減少頻譜泄露對信號分析的影響方面需要包括有：擴大采集信號的時間窗口長度、使用光滑窗口對數據進行平滑等。

3、如果已知線性時不變系統的單位衝激相應信號，請說明如何判斷系統的因果性、穩定性、可逆性、即時或者動態性。

通過語言或者公式對於LTI系統的單位衝激響應與系統的因果、穩定、可逆、即時動態等特性進行論述。

05計算題

1.小題1

已知信號 $x\left( t \right)$ 的表達式爲：

求信號的面積 $A = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right)dt} = ?$

提示：

求解：

假設 $X\left( \omega \right) = F\left\{ {x\left( t \right)} \right\}$ ，有傅里葉的定義可以知道信號 $x\left( t \right)$ 的面積爲：

由分拆踹的變換頻域卷積定理可知：
由：

所以：

爲：

所以：
信號的面積爲： $\int_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right)dt} = 1$ 。

2.小題2

已知連續時間信號 $x\left( t \right),y\left( t \right)$ 如下圖所示，請寫出它們的卷積結果 $z\left( t \right) = x\left( t \right) * y\left( t \right)$ 的表達式，並繪製出結果的信號波形。

求解：

根據卷積定義，首先將兩個信號的變量由 $t$ 修改成 $\lambda$ 。然後在選擇其中一個信號進行反轉平移。在這裏選擇 $x\left( \lambda \right)$ 進行反轉：

然後平移 $x\left( { - \lambda } \right)$ ，形成 $x\left( {t - \lambda } \right)$ 。

（1）當 $t \le - 1$ 或者 $t \ge 2$ 的時候， $x\left( {t - \lambda } \right),y\left( \lambda \right)$ 沒有交集，卷積結果 $z\left( t \right) = 0$ 。

（2）當 $- 1 \le t \le 0$ 時：

（3）當 $0 \le t{\kern 1pt} < 1$ 時：

（4）當 $1 \le t \le 2$ 時：

最後，將所有的結果寫在一起：

3.小題3

已知某一z 變換的象函數

收斂域爲 $1 < \left| z \right| < 2$ ，求出原序列。

求解：

對 $X\left( z \right)$ 進行因式分解：

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2020-06-18
#
# Note:
#============================================================
from headm import *
from sympy                  import abc,apart,print_latex
z=abc.z
numerator=2*z**3-5*z**2+z+3
denominator = (z-2)*(z-1)
print_latex(apart(numerator/denominator/z))
tspexecutepythoncmd('msg2latex')
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

根據收斂域 $1 < \left| z \right| < 2$ 可以知道 $x\left[ n \right]$ 爲：

解法二：

根據z逆變換公式：

因此 $x\left[ n \right]$ 就是求 $X\left( z \right) \cdot z^{n - 1}$ 的留數。根據n取值不同，下式

的具有不同的圍線內的極點分佈：
當 $n \ge 1$ 時，上式具有 $z = 1$ 處的極點，所以：

當 $n = 0$ 時， $z = 0$ ， $z = 1$ 是圍線積分中的兩個極點：
${\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {X\left( z \right) \cdot z^{n - 1} } \right]_{z = 0} = \left. {{{2z^3 - 5z^2 + z + 3} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right)}}} \right|_{z = 2} = 1.5$ ${\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {X\left( z \right) \cdot z^{n - 1} } \right]_{z = 1} = - 1$

所以： $x\left[ 0 \right] = 0.5$ 。
當 $n < 0$ ，根據留數第二定理，通過計算圍線之外極點的留數，取負之後獲得積分數值：
$x\left[ n \right] = {\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {X\left( z \right) \cdot z^{n - 1} } \right]_{z = 2} = - 2^{n - 1} u\left[ { - n - 1} \right]$

綜上所示：

4.第四小題

已知離散時間線性時不變系統的頻率特性爲： $H\left( {e^{j\Omega } } \right) = j.\tan \left( \Omega \right)$ 。
請寫出該離散時間統對應的差分方程。

求解：

根據：

所以：

將其中 $e^{j\Omega }$ 替換成z，可以得到系統的傳遞函數：

所以離散時間系統對應的差分方程爲：

06計算卷積

已知序列 $x\left[ n \right] = [1,2,3,4,5],\,\,h\left[ n \right] = \left[ {1,0,1,1} \right]$ 。
求：
（1） $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right]$
（2） $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _7 h\left[ n \right]$
（3） $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _8 h\left[ n \right]$

說明：序列 $x\left[ n \right],h\left[ n \right]$ 中第一個數字對應下標 $n = 0$ 。
運算符號 $\otimes _7 , \otimes _8$ 分別表示週期爲7和8 的圓卷積。

求解：

（1） $x\left[ n \right] * h\left[ n \right] = \left[ {1,2,4,7,10,7,9,5} \right]$
（2） $x\left[ n \right] \otimes _7 h\left[ n \right] = \left[ {6,2,4,7,10,7,9} \right]$
（3） $x\left[ n \right] \otimes _8 h\left[ n \right] = \left[ {1,2,4,7,10,7,9,5} \right]$