說明：x(t)在數學上表示一個關於時間的函數，在電路工程上表示一個隨時間變化的信號。所以，在本文中，函數和信號是一個概念。
一、（齊次）通解、（非齊次）特解
線性時不變電路，是一種線性時不變系統，其數學模型是線性常微分方程。對於任何線性時不變電路，可根據基爾霍夫定律KCL、KVL和元件V-I約束特性VCR，建立線性常係數微分方程組。通過消元可以得到關於電路中任何信號的微分方程及初值條件：
a(n)* d^ny(t)/dt^n + ...+ a(1)* dy(t)/dt + a0
= b(m)* d^mx(t)/dt^m + ...+ b(1)* dx(t)/dt + b0
y^(n-1)(0+) = Y(n-1)
.
.
.
y'(0+) = Y1
y (0+) = Y0
建立齊次微分方程對應的特徵方程，可得通解，
根據x(t)的形式，可得特解。故可得全解：
y(t) = c(n)e^(s(n)t) + ... + c(1)e^(s(1)t) + f(x(t))
------------------------------------ -------
（齊次）通解 （非齊次） 特解
二、暫態（響應）、穩態（響應）
其中，通解爲指數函數，實際應用中都要求是衰減函數，當t趨於無窮大時，通解項趨於0，意味着系統穩定，剩下特解項，代表系統最終穩定的狀態。故根據物理意義：
通解 稱爲 暫態
特解 稱爲 穩態
三、零輸入（響應）、零狀態（響應）
根據n個初態條件建立n個線性方程，確定通解係數是關於n個初值、特解在0+時刻函數值的函數
c(n:1) = F(Y(n-1:0),f(x(0+)))
由此，可將全解重新拆分成：
與Y(n-1:0)相關的項 （零輸入響應，與x(t)無關，只含指數項）
與Y(n-1:0)無關相關的項（零狀態響應，與初態無關，可能含指數項）
這種分解方式的物理意義是，初態可是一種內部激勵、內部能量源。輸入是一種外部激勵、外部能量源。一個系統要運行，必須有能量。如果外部激勵、內部初態都爲0，那麼系統就失去能量源，所有信號不會發生變化，保持靜止，即爲0。
上面的分析描述，都是基於假設x(t)的特解函數是可以解析求解的。對於任意輸入信號x(t)，通常是不可通過解析方式求出其特解函數的。但根據線性常係數微分方程的可加性，依然可以證明：
任意輸入信號x(t)的全響應可分解爲零輸入響應、零狀態響應。
證明方法如下：
假設y1(t)是零輸入響應（由求解特徵方程、待定係數法可求出零輸入響應，證明了其存在性；當然，也可藉由拉普拉斯變換大法證明），即滿足微分方程及初值條件：
a(n)* d^ny1(t)/dt^n + ...+ a(1)* dy1(t)/dt + a0
= 0
y1^(n-1)(0+) = Y(n-1)
.
.
.
y1'(0+) = Y1
y1 (0+) = Y0
y2(t)是零狀態響應（由拉普拉斯變換可求出零狀態響應，證明了其存在性），即滿足微分方程及初值條件：
a(n)* d^ny2(t)/dt^n + ...+ a(1)* dy2(t)/dt + a0
= b(m)* d^mx(t)/dt^m + ...+ b(1)* dx(t)/dt + b0
y2^(n-1)(0+) = 0
.
.
.
y2'(0+) = 0
y2 (0+) = 0
令y(t) = y1(t) + y2(t)，y(t)必然滿足原微分方程及初值條件：
a(n)* d^ny(t)/dt^n + ...+ a(1)* dy(t)/dt + a0
= b(m)* d^mx(t)/dt^m + ...+ b(1)* dx(t)/dt + b0
y^(n-1)(0+) = Y(n-1)
.
.
.
y'(0+) = Y1
y (0+) = Y0
根據線性常係數微分方程解的唯一性，y(t)就是該微分方程的唯一解。即得證，y(t)可分解成零輸入響應、零狀態響應。
零輸入響應可能包含指數項，這個結論依然成立，因爲它不依賴於輸入信號x(t)。但我們無法證明零狀態響應是否可能包含指數項。這是不可能的，因爲x(t)無法解析，怎能保證零狀態響應可解析呢。我們必須有一種非解析的方法來求得零狀態響應，需要用到剛纔提到的拉普拉斯變換，先得到傳遞函數H(s)，再得到零狀態響應
y(t) = x(t) * h(t) 。
四、穩定性、傳遞函數
系統穩定要求全響應穩定，要求零輸入響應、零狀態響應都穩定。
首先考慮零輸入響應穩定性。零輸入響應是微分方程的通解。如果遍歷初態空間，零輸入響應必然遍歷通解空間，即所有指數項都有可能出現在零輸入響應中。所以，爲了使零輸入響應在所有條件下穩定，必須要求特徵方程的所有根的實部小於0。
再來考慮零狀態響應穩定性。關於零狀態響應穩定性，有一個定義叫BIBO（有限輸入導致有限輸出）。加入BI這個前提顯然是必要的，如果輸入無限，根據疊加原理，線性系統的輸出要麼爲0，要麼無限。在線性工作條件下，輸出變得無限，系統就會工作在線性區以外，通常意味着系統崩潰）。當然，BI也是可以滿足的，實際信號都是有限
的。
隱藏一個問題：即使系統是數學上BIBO的，但這個BO的界限在數學上可以是很大很大，超過實際系統正常工作允許的BO。所以，數學上BIBO的穩定，是實際電路BIBO穩定的必要而不充分條件。實際系統一定有一個BI，這個BI不是由穩定性決定的，而是由電路的其它性能決定的，比如運算放大器的有輸入範圍限制。
要滿足BIBO，x(t) * h(t) = y(t)有限，就要求h(t)是有限的，就要求H(s)的極點的實部小於0，即H(s)分母多項式的根的實部小於0。對消元后的微分方程做拉普拉斯變換可知，H(s)的分母多項式就是特徵方程多項式。所以，爲了保證零狀態響應BIBO穩定，也要求特徵方程的所有根的實部小於0。
五、穩定性 —— 深入
1）系統內所有信號的穩定性
前面我們通過討論某個輸出信號y(t)的穩定性，證明了系統的穩定性。但這是不夠嚴謹的，因爲我們並沒證明系統中所有信號的穩定性。系統中所有節點的響應信號（非源性支路電流、支路電壓）的傳遞函數的極點都是一樣的嗎？我們可以在求解系統響應的更早階段使用拉普拉斯變換，證明這一點。
1）對電路系統建立線性常係數微分方程組
2）使用拉普拉斯變換，得到線性代數方程組，
3）對分項的分母中含有s的VCR方程，等號兩邊同時乘以s，消去分母中出現的s
4）使用克萊默法則，求解各未知變量（各支路電流、支路電壓）
可知，各信號的傳遞函數H(s)的分母都爲代數方程係數矩陣組成的行列式，是s的n次多項式(n爲電路中L/C的總個數，其中並聯電容、串聯電感被合併，方程組中不會出現相同的支路電壓微分、支路電流的微分)，H(s)的分子多項式、分母多項式不必約掉可能存在的公因式。
該代數方程係數矩陣，由電路拓撲結構決定，而與輸入信號、初態無關。
2）穩定性的數學理論定義、物理客觀需求
數學理論定義
李雅普諾夫穩定性定義
物理客觀需求
對物理世界使用微分方程分析時，需要對初態進行測量，這存在兩個問題：
1）初態即使可以控制、測量，但不可能準確
2）初態可能無法控制、測量
其次，我們對系統做線性近似，與系統實際特性之間存在誤差，故存在另外一個問題
3）線性近似方程的穩定，是否保證真實系統的穩態
對於第一個問題，要求微分方程/系統因初態誤差而導致解/響應誤差最終(t->∞)是收斂的。
H(s)的極點都在左半平面，可以保證這一點。
對於第二個問題，要求微分方程/系統在不同初態下的解/響應最終(t->∞)都是收斂的。
H(s)的極點都在左半平面，可以保證這一點。
前個問題的證明都不難，由前述知識容易得出。此外注意到，第二個問題能夠保證第一個問題：所有
響應都收斂的話，相互之間的偏差也是收斂的。
對於第三個問題，證明不是那麼容易，但幸運的是，數學上可以證明，對系統線性近似而建立的微分方
程的穩定性，可以保證真實系統的穩定性。
綜上，線性時不變系統的穩定性的條件雖然簡單，但其意義卻是相當豐富的。
六、結束語
《信號與系統》這門課，有人說簡單，有人說難。如果只要求會做題，考高分也很容易，但可能考完試沒多久就忘得一乾二淨。《信號與系統》難在理解這些分析方法的數學基礎、物理意義、歷史淵源、哲學方法。