計算機圖形學：Mesh

第七章：Mesh

0 基本描述

• 網格有一系列的三角面片組成
• 三角面片包含三個點的索引
• 點索引可以在點表中找到相應的點

1 Tessellation

1.1 基礎網格化方法（低效）

• 檢測多邊形的任意兩頂點連線是否與任意邊相交
• 如果相交則無法切割，否則可以切割，繼續用該方法進行三角化.

1.2 Ear clipping

• 取相鄰三個頂點i,i+1,i+2，檢查線段[i, i+2]是否與邊相交
• 如果沒有相交則將該耳朵從多邊形中去除，繼續三角化

Subdivision(細分)

2.1 Loop Subdivision

• 每個邊都會添加一個新節點，連接後一個三角形轉變爲四個三角形，同時更新每個原始頂點的位置
  

2.1.1頂點更新

如圖（a）所示，新的頂點根據相鄰點及自己的權重得到，n爲相鄰點數

$p_{}^{k+1} = (1 - n\beta)p_{}^{k} + \sum_{i=0}^{n-1}\beta p_{i}^{k}\\ \ \\ \beta = \frac{\frac{5}{8} - (\frac{3}{8} + \frac{1}{4}cos\frac{2\pi}{n})^2}{n}\\$

2.1.2新節點

$p_{}^{k},p_{i}^{k}$是兩個端點，$p_{i - 1}^{k},p_{i + 1}^{k}$是兩個相對頂點，如圖（b）所示

$p_{i}^{k+1} = \frac{3}{8}(p_{}^{k} + p_{i}^{k}) + \frac{1}{8}(p_{i - 1}^{k} + p_{i + 1}^{k})$

2.2 Catmull-Clark subdivision

• 設四邊形的四個頂點爲v0、v1、v2、v3，則新增加的頂點位置爲v = 1/4*(v0 + v1 + v2 + v3)
• 設內部邊的兩個端點爲v0、v1，與該邊相鄰的兩個四邊形頂點分別爲v0、v1、v2、v3和v0、v1、v4、v5，則新增加的頂點位置爲v = 3/8*(v0 + v1) + 1/16*(v2 + v3 + v4 + v5)。
• 設內部頂點v0的相鄰點爲v1、v2，…，v2n，則該頂點更新後位置爲$v = \alpha v_0 + \frac{\beta}{n}\sum_{i=1}^{n}v_{2i} + \frac{\gamma}{n}\sum_{i=1}^{n}v_{2i-1}$，其中α、β、γ分別爲α = 1 - β - γ。
• 設邊界邊的兩個端點爲v0、v1，則新增加的頂點位置爲v = 1/2*(v0 + v1)。
• 設邊界頂點v0的兩個相鄰點爲v1、v2，則該頂點更新後位置爲v = 3/4v0 + 1/8(v1 + v2)。

2.3 $\bm{\sqrt{3}}$Subdivision

• Different from Loop’s scheme Kobbelt, Kobbelt’s $\bm{\sqrt{3}}$ scheme 3 scheme creates only 3 new triangles per-step
• It creates a new vertex (called mid-vertex) in the middle of each triangle, instead of a new vertex per edge.

爲了得到更均勻分佈的三角形，每個原始三角形的邊都被翻轉，使之連接兩個相鄰中間頂點而不是連接兩個已經存在的舊頂點

2.3.1頂點更新

第一個式子爲中間點的計算，第二個式子是三角形頂點的位置更新，第三個式子是$\beta$的計算

$p_{middle}^{k+1} = \frac{p_{a}^{k} + p_{b}^{k} + p_{c}^{k}}{3}\\ \ \\ p_{}^{k+1} = (1 - n\beta)p_{}^{k} + \beta \sum_{i=0}^{n-1} p_{i}^{k}\\ \ \\ \beta(n) = \frac{4 - 2cos(\frac{2\pi}{n})}{9n}\\$

3 Simplification(簡化)

Approximating a given input mesh with a less complex but geometrically faithful representation

• remove reddundant(多餘的) geometry
• reduce model size
• improve run-time performance

3.1 levels of detail (LOD)

• Topology (拓撲結構)：多邊形網格的連接結構
• Genus（虧格）：網格表面孔洞的數目。如球或立方體爲0，圓環爲1

3.2 簡化的基本算法

3.2.1 Vertex Decimation頂點刪除

3.2.2 Edge Contraction邊坍塌（邊變成點）

3.2.3 面收縮（面變成點）

3.3 簡化算法

3.3.1 Schroeder的局部判別準則

對於網格內部頂點v，記其周圍相鄰面片集爲S，則該點的平坦性準則由下述的距離來描述：

$d = |N\cdot(v - C)|\\ \ \\ N = \frac{\sum_{f\in S}^{} n(f) A(f)}{\sum_{f\in S}^{}}\\ \ \\ C = \frac{\sum_{f\in S}^{} c(f) A(f)}{\sum_{f\in S}^{}}\\$
這裏A(f)，c(f)，n(f)分別爲三角面片的面積、中心和法向量

3.3.2 Hoppe-漸進的網格簡化技術

3.3.3 基於二次誤差度量的簡化技術