計算機圖形學：貝塞爾曲線和B樣條

貝塞爾曲線和B樣條

1.Bézier curve貝塞爾曲線

一個連續函數都可以用一個多項式無限逼近

貝塞爾曲線於 1962 年，由法國工程師皮埃爾·貝濟埃（Pierre Bézier）所廣泛發表，他運用貝塞爾曲線來爲汽車的主體進行設計。

1.1 一階貝塞爾曲線

$\mathbf{B_1(t)= (1-t)P_0 + tP_1, t\in[0, 1]}$

1.2 二階貝塞爾曲線

$\mathbf{P_0'= (1-t)P_0 + tP_1} \\ \ \\ \mathbf{P_1'= (1-t)P_1 + tP_2} \\ \ \\ \mathbf{B_2(t)= (1-t)P_0' + tP_1'=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2} \\$

1.3 三階貝塞爾曲線

$\mathbf{B_3(t)= (1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1 + 3t^2(1-t)^2P_1 + t^3P_3}$

1.4 多階貝塞爾曲線

Bernstein polynomial(伯恩斯坦多項式)

$\mathbf{B_n(t)= \sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} P_i (1-t)^{n-i}t^i = \sum_{i=0}^{n} B_{i,n} P_i } \\ \ \\ \mathbf{C_{n}^{i} = \frac{n!}{(n-i)!\cdot i!}}\\ \ \\ \mathbf{B_{i,n} = \frac{n!}{(n-i)!\cdot i!}(1 - t)^{n-i}t^i}\\$

1.5 de Casteljau

$\bm{P_{i,j}}$表示第i列的第j個點
$\mathbf{P_{i, j} = (1 - t)P_{i - 1, j} + tP_{i - 1, j + 1}}\\ \ \\ \mathbf{i \in [1, n], j \in [1, n - i + 1]}\\$

de Casteljau算法在Bézier曲線的光柵化階段特別有用。

Vector2 Render::CalculateBezierPoint(const std::vector<Vector2>& ctl_vecs, float t){
    std::vector<Vector2> points(ctl_vecs);
    for (int i = 0; i < points.size() - 1; ++i) {
        for (int j = 0; j < points.size() - i - 1; ++j) {
            points[j] = interp(points[j], points[j + 1], t);
        }
    }
    return points[0];
}

1.6 升階

增加控制點卻不改變原先曲線的表現

Degree raising means that adding control points to raise the degree of the Bézier curves, but the shape and direction of the curve remain unchanged.

推導過程：

已知：
$\mathbf{B_n(t)= \sum_{i=0}^{n} B_{i,n} P_i }$
則：
$\mathbf{B_n(t)= \sum_{i=0}^{n} B_{i,n} P_i = \sum_{i=0}^{n} (1-t + t) B_{i,n} P_i}$

接下來看下相乘的兩個式子

式子1:

$\mathbf{(1 - t)B_{i, n}P_i = \frac{n!}{(n-i)!\cdot i!}(1 - t)^{n + 1 - i}t^i P_i }\\ \ \\ \mathbf{= \frac{n + 1 - i}{n + 1}\frac{(n+1)!}{(n + 1 - i)!\cdot i!}(1 - t)^{n + 1 - i}t^i P_i = \frac{n + 1 - i}{n + 1}B_{i, n + 1}P_i}\\ \ \\ \mathbf{(1 - t)B_{i, n} P_i = \frac{n + 1 - i}{n + 1}B_{i, n + 1}P_i }\\$

式子2:

$\mathbf{tB_{i, n}P_i = \frac{n!}{(n-i)!\cdot i!}(1 - t)^{n - i}t^{i + 1} P_i }\\ \ \\ \mathbf{= \frac{i + 1}{n + 1}\frac{(n+1)!}{(n + 1 - i - 1)!\cdot (i + 1)!}(1 - t)^{n + 1 - i - 1}t^{i + 1} P_i = \frac{i + 1}{n + 1}B_{i + 1, n + 1}P_i}\\ \ \\ \mathbf{tB_{i, n}P_i = \frac{i + 1}{n + 1}B_{i + 1, n + 1}P_i}\\$

對於等式1，由於i = n + 1的時候等式爲0，所以可以將等式變爲

$\mathbf{\sum_{i = 0}^{n}\frac{n + 1 - i}{n + 1}B_{i, n + 1}P_i = \sum_{i = 0}^{n + 1}\frac{n + 1 - i}{n + 1}B_{i, n + 1}P_i}$

對於等式2我們可以將i用i-1替代，因爲i=-1時等式爲0，所以成立，所以

$\mathbf{\sum_{i = 0}^{n}\frac{i + 1}{n + 1}B_{i + 1, n + 1}P_i = \sum_{i = 0}^{n + 1}\frac{i}{n + 1}B_{i, n + 1}P_{i - 1}}$

將兩式子合併最終結果爲：

$\mathbf{B_n(t)= \sum_{i=0}^{n} B_{i,n} P_i = \sum_{i = 0}^{n + 1}(\frac{n + 1 - i}{n + 1}P_i + \frac{i}{n + 1}P_{i - 1}) B_{i, n + 1}}$

其中$\bm{P_{-1}},\bm{P_{n + 1}}$值隨意，畢竟最後乘以係數後均爲0

新的節點推導公式爲：
$\mathbf{P_i^* = (\frac{n + 1 - i}{n + 1}P_i + \frac{i}{n + 1}P_{i - 1})}$

CODE:

std::vector<Vector2> Render::RaiseDegree(const std::vector<Vector2>& ctl_vecs){
    unsigned long new_degree = ctl_vecs.size();
    std::vector<Vector2> new_ctl_vecs(new_degree + 1);
    new_ctl_vecs[0] = ctl_vecs[0];
    new_ctl_vecs[new_degree] = ctl_vecs[new_degree - 1];
    for (int i = 1; i < new_degree; ++i) {
        float t = 1.0 - static_cast<float>(i) / new_degree;
        new_ctl_vecs[i] = interp(ctl_vecs[i - 1], ctl_vecs[i], t);
    }
    return new_ctl_vecs;
}

1.7 降階

減少控制點去逼近原先曲線的表現

Degree reduction is the opposite of degree raising, is to find a curve defined by new control points with minimum error

根據升階公式

$\mathbf{P_i^* = (\frac{n - i}{n}P_i + \frac{i}{n}P_{i - 1})}$

可以得到如下兩個遞推式

$\mathbf{P_i' = \frac{nP_i^* - iP_{i - 1}'}{n - i} \qquad i = 0, 1, 2...n-1}\\ \ \\ \mathbf{P_{i - 1}'' = \frac{nP_i^* - (n - i)P_{i}''}{i} \qquad i=n, n-1,...1}\\$

一個與起點重合，然後逐漸偏離；一個與終點重合，然後逐漸偏離

Then we have two kinds of degree reduction schemes

1.7.1 Forrest (1972)

$\mathbf{\hat{P_i} = \left\{\begin{matrix} P_i' , & i = 0,1,..., \left [ \frac{n - 1}{2} \right ] \\ P_i'', & i = \left[\frac{n - 1}{2} \right ] + 1,...n - 1 \end{matrix}\right.}$

1.7.2 Farin (1983)

$\mathbf{\hat{P_i} = (1 - \frac{i}{n - 1})P_i' + \frac{i}{n - 1}P_i''}$

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2 B-Spline

$P_n(t) = \sum_{i=0}^{n}P_iN_{i, k}(t)\\ \ \\ t \in [0, 1]\\$

2.1 樣條

樣條（Spline）其實是一種在造船和工程製圖時用來畫出光滑形狀的工具。樣條是一根柔軟但有彈性的長條物，有些像尺子。將兩端和幾個點用釘子固定之後，便可以產生順滑的曲線。

2.2 Cox-de Boor recursion formula

$\mathbf{N_{i,1} = \left\{\begin{matrix} 1 & t_i < x < t_{i + 1}\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.}\\ \ \\ \mathbf{N_{i,k} = \frac{t - t_i}{t_{i+k-1} - t_i}N_{i, k-1}(t) + \frac{t_{i+k} - t}{t_{i+k} - t_{i+1}}N_{i+1, k-1}(t)}\\$

我們讓$t_0 = 0,t_1 = 1,t_2 = 2, t_3 = 3$,則$N_{0, 1}, N_{1, 1}, N_{2, 1}$如下圖所示：

遞推關係如下（此圖爲wiki上的，用的是次-degree，而上面的公式用的是階-order，degree=order-1）：

2.2.1 定義區間

$[t_{k-1},t_{n+1}]$區間內有相應數量的基函數，該區間纔有意義：

2.3 分類

2.3.1 均勻B樣條（Uniform B-Spline）

節點成等差數列均勻分佈

2.3.2 準均勻B樣條（Quasi-Uniform B-Spline）

讓起點和終點都具有K的重複度，使得曲線從起點開始，到終點結束

2.3.3 分段Bezier曲線(Piecewise Bezier Curve)

• 起點節點和終點節點都具有K的重複度
• 所有其它節點都具有K-1的重複度
• 這樣所有的曲線段都是Bezier曲線，各自獨立

2.3.4 非均勻B樣條（Non-uniform B-Spline）

• 起始點重複度都≤K
• 其它節點重複度≤K-1

De Boor’s Algorithm