【數學問題2】動力學基礎

在先前的文章中，我們已經討論過了四足機器人的腿部運動學建模，但是僅有運動學部分是不夠的的，因爲機器人時刻出於運動當中，是一個時變系統，在此運動中，機器人的速度，加速度也可能會時間變化。而涉及到加速度，就離不開力，涉及到力的分析，就離不開動力學。

現在，我們先將問題簡化，假定機身是固定在空間中的某一點上，來分析腿部模型的動力學模型

一、速度和靜力

要研究動力學，我們首先從剛體運動開始

1.1 時變位姿符號表示

下面下來討論一些基本知識：向量微分，角速度的表示及符號

位置向量的微分

當物體的質量可以集中於一點時，我們可以忽略物體本身的旋轉，只考慮其線速度。

定義參考系{B}中一點Q，其位置表示爲$^BP_Q$，其速度爲$^BV_Q$

因此有以下關係：

$^BV_Q = \frac{d^BP_Q}{dt} = \underset{\Delta t\rightarrow 0}{lim}\frac{^BP_Q(t+\Delta t)- ^BP_Q(t)}{\Delta t}$

上式描述了，Q點位置的時間微分，即Q點的速度（B參考系下）。

參考系是非常重要的，這點不能忽略，舉個例子，Q點在座標系B下觀察時，其速度不隨時間變化，即速度爲0，而參考系{B}本身有可能是運動的，因此，點Q在其他參考系下觀察時，其速度不一定爲0

與位置變換類似，速度也是可以在不同座標系下進行變化的：

$^A（^BV_Q） = ^A(\frac{d^BP_Q}{dt}) = _{A}^{B}\textrm{R}^BV_Q$

多數情況下會討論某一個座標原點相對於世界參考系的速度，此時不去深究其相對於其他任意座標系的的速度，這種情況下會寫作：
$v_c = ^UV_{CORG}$

角速度向量

當物體不能看做是一個質點時，我們就得考慮其本身的旋轉，通常用角速度來描述。用$\Omega$表示。

上圖中$^A\Omega_B$描述了座標系{B}相對於於座標系{A}的旋轉

現在討論一種情況，假設從座標系{B}觀察點Q，其位置不隨時間變化，而{B}相對於於座標系{A}的旋轉，計算Q點在{A}下的速度（具體推導過程略）：

$^AV_Q = \ ^A\Omega_B \ \times \ ^AP_Q$

叉乘公式爲：

其中:

$^AP_Q = \ ^A_B R \ ^BP_Q$

一般情況下，點Q是相對於{B}變化的，因此需要加上線速度分量：

$^AV_Q = \ ^AR_B \ ^BV_Q + ^A \Omega_B\ \times \ ^A_BR \ ^BP_Q$

加上原點的線速度，將上式推廣到座標原點不重合的情況：

$^AV_Q =\ ^AV_{BORG} + \ ^A_BR \ ^BV_Q \ + \ ^A \Omega_B \ \times \ ^A_BR \ ^BP_Q$

二、機器人連桿運動

規定$\omega_i$爲連桿座標系$\{i\}$的角速度，$v_i$爲連桿座標系原點的線速度。由於操作臂是鏈式結構，每一個連桿的運動都與它相鄰杆有關

旋轉關節

根據DH模型，我們計算其角速度值：

$^i \omega_{i+1} = \ ^i \omega_i + ^i_{i+1}R \dot \theta_{i+1} \ ^{i+1}\hat Z _{i+1}$

其中：

$\theta_{i+1} \ ^{i+1}\hat Z _{i+1} =\ ^{i+1} \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\\dot \theta_{i+1} \end{bmatrix}$

需要注意，DH模型中我們定義旋轉軸爲Z軸，因此纔會有$\theta_{i+1} \ ^{i+1}\hat Z _{i+1}$

由於連桿$i+1$的角速度是由關節運動產生，因此第$i+1$個連桿相對於第$i$連桿的角速度，等於連桿$i$本身的角速度加上連桿$i+1$的關節角速度

兩邊同時乘以$^{i+1}_{i}R$，對觀測座標系進行變換，我們得到：

$^{i+1} \omega_{i+1} = ^{i+1}_{i}R \ ^i \omega_i + \dot \theta_{i+1} \ ^{i+1}\hat Z _{i+1}$

對於線速度：

$^iv_{i+1} = \ ^iv_i + \ ^i\omega_i \times \ ^iP_{i+1}$

兩邊同時乘以$^{i+1}_{i}R$，得到：

$^{i+1}v_{i+1} =^{i+1}_{i}R ( \ ^iv_i + \ ^i\omega_i \times \ ^iP_{i+1})$