信號與系統之信號的時域分析

1. 典型普通信號
2. 階躍信號與衝激信號
3. 斜坡信號與衝激偶信號
4. 連續信號的時移、反轉和尺度變換
5. 連續信號的相加相乘微分積分
6. 離散時間信號的時域描述
7. 離散時間信號位移翻轉抽取內插
8. 離散信號的相加相乘差分求和
9. 確定信號的時域分解

典型普通信號

1. 直流信號
2. 實指數信號
3. 正弦信號
4. 虛指數信號
5. 復指數信號
6. 抽樣信號

直流信號

直流信號是指時間從負無窮遠處到正無窮遠處一直保持一個恆定的值，生活中經常見到的電池就是這樣一種直流信號。

實指數信號

實指數信號，是在高等數學中經常見到的函數，實際生活中電容充放電的過程就是一個指數信號。

例如充電過程，電容C兩端的電壓在不斷地增加，放電過程與之相反，電容C兩端的電壓逐漸減小

正弦信號

正弦信號是在大學物理中經常見到的一種週期信號，正弦信號的三要素分別是振幅、角頻率和初始相位。那麼如果一個正弦信號它的角頻率是ω0的話，它的週期T0就是2π除以ω0。

虛指數信號

虛指數信號的表達式是e的jω0t次方，這個信號在高等數學中接觸的比較少，是我們這門課程典型的連續信號中的一個重點。

首先我們看一下虛指數信號的週期，給虛指數信號自變量t，加上一個它的週期T，仍然能夠回到它初始的值:

e的jω0t次方與實軸的夾角是ω0t，當順時針或者逆時針旋轉360度的話，重新又恢復到它的起點，那麼就說明這個信號的週期是2π。同樣，當n等於正負1 正負2的時候ω0t就等於2π的n倍。

歐拉公式:
歐拉公式反映了正弦類信號和虛指數信號的之間的關係，通過歐拉公式，我們可以用虛指數信號表示正弦類信號，反過來，用正弦類信號也可以表示虛指數信號，所以歐拉公式是聯繫正弦信號和虛指數信號的橋樑。

復指數信號

復指數信號的表達式是A倍的e的st次方，那麼複數這個概念體現在自變量s上，S等於σ加jω0，其中σ是實部，jω0是虛部。我們可以把這個復指數信號通過歐拉公式進行一下變換，也就是復指數可以表示成A倍的e的σt次方乘以e的jω0t次方，把虛指數信號jω0t次方轉換成實部cosω0t加j倍的sinω0t，於是復指數信號分爲實部和虛部兩個部分

復指數信號是一個非常重要的信號，因爲通過轉化可以把復指數信號轉化成前面我們學過的四種信號:

1. 當σ不等於0而且ω0也不等於0的時候，這個復指數信號就是一個不等幅的振盪的正弦信號；
2. 當σ等於0而且ω不等於0的時候，是一個等幅振盪的正弦信號或者是虛指數信號；
3. 當σ不等於0而且ω0等於0的時候，這時是一個實指數信號；
4. 當σ和ω0都等於0的時候，復指數信號就變成了直流信號。

抽樣信號

抽樣信號的表達方式是Sample(t),也就是Sa(t),抽樣信號與正弦信號除以t。這是抽樣信號的波形，我們可以看出，抽樣信號是一個偶函數，關於縱軸對稱

它有以下幾個性質:

1. 當t等於0的時候是這個信號的最大值，函數值爲1；
2. 當t是π的整數倍的時候，抽樣信號過0，也就是sinkπ等於0，k等於正負1 正負2等等
3. 如果對這個信號進行積分，在整個定義域範圍內積分它的結果是π。

階躍信號與衝激信號

階躍信號與衝激信號都屬於奇異信號

奇異信號是函數本身或者其導數，或者高階導數出現奇異值，所謂奇異值就是趨於無窮大的值。

單位階躍信號

定義:

圖像:

有延時的單位階躍信號:


用階躍信號表示實際直流信號:
x(t) = Ku(t)

用階躍信號表示任意的方波脈衝信號:

利用階躍信號的單邊性表示信號的時間範圍:

單位衝激信號

定義:

圖像:

延時的單位衝激信號:

強度:
衝激信號具有強度，其強度就是衝激信號對時間的定積分值。在圖中用括號註明，以區分信號的幅值。

衝激信號的物理意義:
表徵作用時間極短，作用值很大的物理現象的數學模型。

衝激信號的作用:

1. 表示其他任意信號
2. 表示信號間斷點的導數

性質:
1.篩選特性


2.取樣特性


3.卷積特性


4.展縮特性

推論:


注意:

1. 在衝激信號的抽樣特性中，其積分區間不一定都是(-∞，+∞)，但只要積分區間不包括衝激信號&(t- t0)的t = t0時刻，則積分結果必爲零。
2. 對於&(at + b)形式的衝激信號，要先利用衝激信號的展縮特性將其化爲&(t + b/a) /|a|形式後，方可利用衝激信號的抽樣特性與篩選特性。

斜坡信號與衝激偶信號

斜坡信號

定義:


斜坡信號與階躍信號的關係:

衝激偶信號

定義:


圖形表示:

性質:

1. 篩選特性:
   
2. 取樣特性:
   
3. 展縮特性:
   
   
4. 卷積特性:
   

四種奇異信號具有導數和積分關係:

連續信號的時移、反轉和尺度變換

1.時移(平移)

物理概念:(“左加右減”)

• x(t - t0):信號右移t0個單位
• x(t + t0):信號左移t0個單位

2.信號的反轉(翻轉)

物理概念:將x(t)以縱軸爲中心作180°翻轉

3.尺度變化

物理概念:

• 0<a<1: x(at)是x(t)在橫座標上擴展
• a>1: x(at)是x(t)在橫座標上壓縮(又稱橫座標展縮)

時移、反轉、尺度變換的應用:
1.信號的時移、反轉是卷積積分計算的基礎，用以確定積分上下限。
2.信號的時域運算是頻域運算的基礎，並且兩個定義域運算之間存在關係。

• 時域擴展、頻域壓縮
• 時域做簡單處理，頻域出明顯效果

注意事項:

連續信號的相加相乘微分積分

1.連續信號相加
包含加減，注意:函數分段，按照段對段"對各連續信號相加。

2.連續信號相乘
包含乘除運算;注意:函數分段，按照"段對段"對各連續信號相乘。

3.連續信號微分

4.連續信號積分

離散時間信號的時域描述

1.實指數序列



離散信號週期判斷舉例:


3.復指數序列


4.單位脈衝序列
定義:


5.單位階躍序列


6.矩形序列


7.斜坡序列r[k]

總結

差分關係:
δ[k]= u[k] - u[k - 1]
u[k] =r[k + 1] - r[k]

離散時間信號位移翻轉抽取內插

1.位移 x[k] ->x[k±n]

• x[k - n]表示將x[k]右移n個單位。
• x[k + n]表示將x[k]左移n個單位。

2.翻轉 x[k] ->x[-k]

將x[k]以縱軸爲中心作180度翻轉

3.抽取

x[k]→x [Mk] M爲正整數

在原序列中每隔M-1點(每M點)抽取一點

4.內插

在序列兩點之間插入L- 1個零點

注意:
一般情況下,離散時間信號不做尺度變換運算

原因:

• 橫座標縮:失去了一些信息
• 橫座標展:波形發生了變化

離散信號的相加相乘差分求和

1.離散信號相加
指將若干離散序列序號相同的數值相加,序列點與點相對應

2.離散信號相乘
指將若干離散序列序號相同的數值相乘,序列點與點相對應

3.離散信號差分

差分 分爲 前向差分 和 後向差分

4.離散信號求和

比較連續信號和離散奇異信號各自的關係:

確定信號的時域分解

1.信號分解爲直流分量和交流分量

2.信號分解爲實部分量和虛部分量

3.信號分解爲奇分量與偶分量之和

4.連續信號表示爲單位衝激信號&(t)的線性組合

4.離散信號表示爲單位衝激信號&(t)的線性組合