文章目錄
前言
- 看了永野裕之先生的數學書《數學好的人是如何思考的》,感覺印象深刻,遂把整書結構思想摘抄總結如下。
數學實用性
-
愛因斯坦:所謂教育,是忘卻了在學校學得的全部知識之後所剩下的本領。爲了讓這個本領能便利地解決社會中面臨的諸多問題,教育應該培養的是能夠獨立思考和獨立行動的人。
-
因此,凡是不能夠獨立思考和獨立行動的人,要麼是接受的教育不行,要麼是懶惰。
-
通過“畫面感”和“重新制定計劃”來學習和以前不一樣的數學。
初中數學背後的7個技能(邏輯思考的提示,應用層)
- 概念理解(聯想)
- 看穿本質(廣義化)
- 合理解題(過程)
- 抓住因果關係(相似)
- 增加信息(相似歸納)
- 令人信服(證明)
- 從局部看整體(概率統計)
解決數學題的10個思路(共通性的基本思考方法)
- 降低次方和次數
- 尋找週期性和規律性
- 尋找對稱性
- 逆向思維
- 與其考慮相加,不如考慮相乘
- 相對比較
- 歸納性的思考實驗
- 數學問題的圖像化
- 等值替代
- 通過終點來追溯起點
數學和算數
- 算數是結果,爲生活服務,因此學習算數的關鍵是記住方法,然後反覆練習提高速度,以解決模式化的問題。任務完成。
- 數學是過程,爲解決問題服務,因此,學習數學不是爲了生活,而是爲了鍛鍊邏輯思維能力,從而解決未知的問題。
- 綜上:算術追求的是結果的正確性,數學則追求的是邏輯的正確性,換句話說就是過程的嚴謹與合理。
- 這個時代更加需要數學,因爲麻省理工學院媒體實驗室的所長伊藤穰一說:世界變化如此之快,地圖已經毫無用處。我們需要的是指南針。
學術學習方法摘要
- 切勿死記硬背(當然要記憶,除了記憶還有許多工作)
- 死記硬背是懶惰的表象,相對懶惰,因爲有些,或者許多人死記硬背都不願意,想要坐享其成。
- 有些知識需要背,但是如果對於新知識,思考其對應的現實含義,背誦則會更加高效且便捷。
- 多問爲什麼
- 數學是爲了解決未知的問題的,所以記住已有的題的意義就是能夠舉一反三,通過已有的問題的總結,能夠適用於任何問題的解決技巧和捷徑。但是這些方法捷徑很難通過定理、公式和解題方法表現出來,而我自己有比較懶惰,沒有思考,所以我目前沒有學會。
- 重新定義
- 同切勿死記硬背,賦予新知識自己的理解,進行重新定義,能夠幫助記憶,抓住本質。
- 證明公式定理
- 通過證明定理,體會大師們的思路。
- 聞 – 思 – 教 三步走
- 默而識之,學而不厭,誨人不倦
技能詳解
概念理解
- 如果只是囫圇吞棗地接受看到的東西,你就很難發現隱藏在其深處的真理。但是,如果能通過概念進行分析,我們的思考就是無限的,哪怕是宇宙中遙不可及的神祕世界,我們也能嘗試一探究竟。我認爲智慧與概念息息相關。通過創創造概念、深化概念,我們才能理解世界,可以說,數學的歷史就是概念的歷史。
- 對“質數”的理解
- 數的原子結構-分解質因數
- 分解質因數的步驟
- 依次除以能夠整除的數的質數
- 把用於分解的質數和剩下的質數寫成乘積形式
- 分解質因數的步驟
- 分解質因數告訴我們一個道理:將每個東西分解爲不可再分的質數,無論是解決“公因數”還是“公倍數”的問題,都是最有效的方法。當然,發現事物的“質”絕非易事,但只要我們追根溯源,就能發現事物的本質,所以我希望大家在思考問題時候不要半途而廢,要有追根究底的精神。
- 貌似,這次探索確實對我有幫助,以前就沒有發現。
- 數的原子結構-分解質因數
- 把無法抓住本質的數(無理數)作爲概念理解
- 有理數–有比數
- 無理數–無比數
- 爲了計算,自然數誕生了;爲了分配、求算比例,分數誕生了;爲了表示“無”,0誕生了,爲了在同一個概念中掌握相反的概念,負數誕生了。
- 對“質數”的理解
看穿本質
- 一定要懂得從海量信息中,篩選出自己想要的信息並抓住其本質。
- 首先若能將對象一般化,我們便能統一處理龐大的信息,另外,如果能意識到某個問題的基本組成要素,我們就能認識到眼前問題的複雜性,並能找到處理方法。並且,數學可以幫助我嗎們推斷沒有的東西。
- 數學和算數的最大區別,解決數學問題用負數和字母。用字母代替數字(代數?)
- 本質就是概念。理解概念是學習數學的一大目標。
- 抓住事物的本質,總結出共同的概念,這就是所謂的一般化,數學的基本精神就是從多個具體事例中找出潛在的本質。因此,在學習數學的過程中,我們應該隨時想到用字母來表示對象。
- 次數:相乘的字母的個數。
- 因式分解
- 因式分解的意義在於增加的式子的信息量,就像做輔助線增加圖像的信息量一樣。但是,因式分解後,做完輔助線後,我們要利用好其他的式子的基本變形,通過輔助線構造的平行相似,再進行下一步操作。
- 因式分解基本要求
- 提取公共的因數
- 對最低的字母進行整理
- 再利用現成的因式分解公式
合理解題
- 要點
- 正確的過程
- 總結規則
- 模式化
- 等式的性質及其重要性
- 邏輯推理的前提
- 詭辯的產生
- 0不可作爲除數的原因
- 證明2=1
- 聯立方程組
- 方程增加約束,未知數的個數又稱自由度
- 代如法解決方程及加減法解方程
- 代入法解方程組
- 只要是帶有字母的方程,我們就必須時刻不忘消去未知數,這是解答代數問題最重要的基本方針。時刻遵循確定要消去的字母->對確定的字母進行求解->帶入其它式子進行解方程
- 完全掌握初中數學式子變形的知識點的知識點–完全平方
- 完全平方的基礎式
式子的特點,第二個k爲第一個k的一半,第三個k爲第二個k的平方,內部2
K的一半,減去外面K的平方
- 完全平方的基礎式
- 例子
- 3爲6的一半,9爲3的平方。3爲上面公式的K,K爲核心。
抓住因果關係
- 要點
- 找出單射(最基本的單射–比例)
- 熟練掌握並利用“線性”與“非線性”的關係
- 由“比例”走進函數的世界。函數關係就是指因果對應的關係。一次函數是線性函數,我們可以通過一次函數認識世界;二次函數事“非線性”函數,我們可以通過二次函數表現真實的世界。
- 線性代數:線性代數是在求解聯立一次方程組的基礎之上展開的。
增加信息
- 要點
- 從方法中探索原理
- 準備有效的核對清單
- 分類
- 找出相似之處
- 初中數學中代數與幾何各佔半壁江山,但是幾何問題就像猜謎語,無法明確的提高邏輯思維能力,所以高中以後幾何就變少了,但是也會有一些作用,比如提高信息量。
- 輔助線不是隨意畫的。平行線的作用正是獲得“更多有用的信息”。
- 垂直平分線
- 角平分線
- 做出這些東西后,思考垂直平分線的定義與性質,然後這些定義和性質就是能帶來的信息量。
- 方法中的原理:忽略原理,你找的所謂捷徑也是繞遠路,而且很難達到目的。
- 知道“方法”總是比沒有好,但是僅僅滿足方法,就會忽略其中的本質,在學習做圖中,學生可能會通過記住方法在學生中得分,但是如此,就壓制了他們的好奇心。我認爲,問(而且是一直問)“爲什麼”是掌握數學技能 的唯一“資質”。放大方法的作用,是一件令人遺憾的事。
- 準備清單以便高效率的收集信息
- 應用:證明全等三角形的方法思想
- 三角形若干角相等,邊相等,三角形全等。
- 分類歸納信息(定義)
- 等腰三角形
- 正三角形
- 平行四邊形
- 長方形
- 菱形
- 正方形
- 行星分類
- 信息量最多的圖形圓
- 相似的核心思想:成比例
- 通過相似圖形的知識點,在生活中找相似的事和物,信息量增多的同時,還能發現很多隱藏的性質。
- 芥川龍之介:“人生就好像一盒火柴,如果很小心翼翼地對待它,是有些可笑的;可是如果不認真對待它,又是很危險的。”
- 不只是這句話的比喻,當你發現某個東西和另一個東西很相似的時,會有一種豁然開朗的感覺,當用舉例子進行論證的時候,自己滿意,別人也更加容易理解,類比是論證中最爲重要的方法。
令人信服
- 要點
- 明確假設、結論
- 簡明地證明“假設”的原因
- 不要現學現賣
- 邏輯正確(利用數學證明),就能擁有壓倒性的說服力,任何人都無法違抗真理
- 邏輯的基礎
- 假設和結論
- 芝諾悖論(追烏龜的故事)
- PAC思考法
- 在中學數學中,很少提到“前提”一詞,但是在我們日常生活中,偶爾會遇到前提有些奇怪的“邏輯”。欺詐的“邏輯”大多數都是這個模式。即使“假設->結論”的邏輯無懈可擊,但是如果你覺得可疑的話,不妨關注一下前提P,琢磨一下前提是否存在問題。
- 1+1在二進制的條件下成立。
- 愛因斯坦說:常識就是人在十八歲之前形成的各種偏見。
- 由於生長環境的不同,我們的常識可能對對方而言並非常識。要和背景不同的人展開合乎邏輯的討論,切記在討論之前,認真確認前提。(和哲學終極三問的第一問:是何如此相像。)
- 數學考試的目的
- 邏輯表達能力(人話就是能夠一五一十的寫出得到答案的過程)
- 數學考試是加分項
- 對於考生而言,只能通過答案展示自己的實力,而對於評分老師而言,答案紙上所有內容都是對考生做出評價的參考資料。考生必須在答案中將自己掌握東西全部表現出來。
- 我們無需複製習題集裏那種格式工整的答案,只需按照自己的思想,想到哪兒就寫到哪兒,想到多少就寫多少。因爲數學是加分制,寫多不扣分。
- 不用擔心答案寫的太多。在答題的時候,清楚地意識到,答案紙是展現自己實力的唯一舞臺,因此,多寫一點纔不會失去表現的機會。
- 如果想寫出能得高分的答案,就要把閱卷“老師”當成自己的朋友,他的數學比你差,因此,你一定要詳細地寫出答題過程,只有這樣,他才明白答案是怎麼得來的。
- 證明題的書寫方法
- 基於假設,有條不紊地展開推到,最終得出結論。這是解題方法,也是寫證明題應遵循的順序。
- 許多人在學生時代都不擅長做證明題,數學磨鍊的是一個人的邏輯思考能力,從這個角度來看,證明題的作用尤爲重要。
- 要點
- 清楚地寫明假設和結論
- 完整地寫出由假設得出結論的理由
- “A等價於B等價於C等價於D”和“如果”同時存在時,應寫明“如果”出現的條件和結果
- 站在讀者的立場,耐心地寫清楚證明過程。
-
站在別人的立場,這一條乍看之下有點道德約束,實際上這一點非常重要,寫證明題,最忌諱的就是自說自話。
-
正多邊形的個數爲有限個的證明過程
- 學習證明過程的思想不在於知道一個真理,而是體會發現真理的過程。背誦一個理論,在大多數是沒有用處的,但是如果親自驗證,就能夠理解理論得來的過程,理論就變的有意義。
-
勾股定理
- 深奧的“邏輯之森”的入口
-
學習數學並不是培養利用公式來解決模式化問題的能力,而是要磨練運用邏輯思維解決未知問題的能力。 從培養邏輯思維的角度來看,證明勾股定理是初中數學學習的重中之重,勾股定理作爲高中的“邏輯之森”的路口,蘊含着耐人尋味的美景。(普通的我們只需要欣賞邏輯的美麗,探尋蠻荒之地交給科學家)
從局部看整體
- 要點
- 挑選“代表”
- 不依賴直覺
- 不傾向使用混雜的數據
- 統計
- 包括描述統計學與推斷統計學
- 概率
- 破除錯覺
- 抽樣調查
- 以小見大
- 進階:將數據的分佈帶入考慮
綜合問題——如何使用7個技能
- 看書吧
總結
從“數與式”與“函數中”,期望能夠通過邏輯思維解決問題。
從圓與三角形圖形知識中,體會分類和制約中發現潛在性質的方法,以及從假設導出結論的證明過程。