題目
給定一個整數數組 A，返回其中元素之和可被 K 整除的（連續、非空）子數組的數目。
示例：
輸入：A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
輸出：7
解釋：
有 7 個子數組滿足其元素之和可被 K = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]
提示：
1 <= A.length <= 30000-10000 <= A[i] <= 100002 <= K <= 10000
解題思路
本題與（560. 和爲K的子數組）非常類似，詳情可參考560. 和爲K的子數組
解法一：前綴和 + 哈希表優化
定義數組 sum[j] 爲[0…j]所有元素的和，那麼[i…j]這個子數組的和可以表示爲 s[i…j]=sum[j]-sum[i-1]，要使這個子數組的和可被k整除，即 (sum[j]-sum[i-1]) mod k == 0，也即 sum[j] mod k == sum[i-1] mod k。因此只需要找有多少對累加和sum mod k 相同的數就可以組合一下得到結果。
這可以藉助哈希表保存累加和sum mod k的值以及出現的次數，若相同的(sum mod k)已經出現過，則說明存在連續子數組之和可被k整除。由於 sum[i] 的計算只與前一項的答案有關，因此我們可以不用建立 sum 數組，直接用一個 sum 變量來記錄 sum[i−1] 的答案即可。
具體做法是：
1）初始化哈希表hash={0:1}，表示累加和sum mod k=0，出現了1次。初始化累加和sum=0。初始化結果res=0。
2）遍歷數組：
2.1）更新累加和sum += nums[i]；
2.2）若sum mod k存在於hash中，說明存在連續子數組之和可被k整除。則令res += hash[sum mod k]，表示sum mod k出現幾次，就存在幾種子數組之和可被k整除。
2.3）若sum mod k 存在於hash中，將其出現次數加一。若不存在，將其加入hash。
3）返回res。
複雜度分析：
時間複雜度：O(N)，其中 N 是數組 A 的長度。我們只需要從前往後遍歷一次數組，在遍歷數組的過程中，維護哈希表的各個操作均爲 O(1)，因此總時間複雜度爲 O(N)。
空間複雜度：O(min(N,K))，即哈希表需要的空間。當 N≤K 時，最多有 N 個前綴和，因此哈希表中最多有 N+1 個鍵值對；當 N>K 時，最多有 K 個不同的餘數，因此哈希表中最多有 K 個鍵值對。也就是說，哈希表需要的空間取決於 N 和 K 中的較小值。
注：
本題有個注意點，取模與取餘的區別，其實取模和取餘在目標上是一致的，但是因爲語言對取餘和取模上定義的不同，導致得到的結果不同。對取餘和取模定義不同的語言中，兩者的不同點只有一個：
1）取餘運算在計算商值向0方向捨棄小數位；
2）取模運算在計算商值向負無窮方向捨棄小數位。
或者也可以這樣理解：
1）取餘，遵循儘可能讓商大的原則
2）取模，遵循儘可能讓商小的原則
從上面的區別可以總結出，取餘（rem）和取模（mod）在被除數、除數同號時，結果是等同的，異號時會有區別，所以要特別注意異號的情況。
一些例子：
取餘：
5 rem 3 = 2 （5=1*3+2，商爲1）
-5 rem 3 = -2 （-5=(-1)*3-2，商爲-1）
5 rem -3 = 2 （5=(-1)*(-3)+2，商爲-1）
-5 rem -3 = -2 （-5=1*(-3)-2，商爲1）
取模：
5 mod 3 = 2 （5=1*3+2，商爲1）
-5 mod 3 = 1 （-5=(-2)*3+1，商爲-2）
5 mod -3 = -1 （5=(-2)*(-3)-1，商爲-2）
-5 mod -3 = -2 （-5=1*(-3)-2，商爲1）
在C/C++, C#, JAVA, PHP這幾門主流語言中，’%’運算符都是做取餘運算，而在python中的’%’是做取模運算。
代碼
Python代碼如下：
class Solution:
def subarraysDivByK(self, A: List[int], K: int) -> int:
hash_dic = {0:1}
res = 0
s = 0
for i in range(len(A)):
s += A[i]
if s % K in hash_dic:
res += hash_dic[s%K]
hash_dic[s%K] += 1
else:
hash_dic[s%K] = 1
return res
Java代碼如下：
class Solution {
public int subarraysDivByK(int[] A, int K) {
HashMap<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
hash.put(0, 1);
int res = 0;
int s = 0;
for(int i=0; i<A.length; i++){
s += A[i];
int mod = Math.floorMod(s, K);
if(hash.containsKey(mod)){
res += hash.get(mod);
hash.put(mod, hash.get(mod)+1);
}else{
hash.put(mod, 1);
}
}
return res;
}
}