正態分佈與超越函數

原文地址：
https://blog.csdn.net/lyghe/article/details/80827812
https://blog.csdn.net/HNUCSEE_LJK/article/details/86999897

記憶正態分佈公式

超越函數$e^{-x^2}$在(-∞, +∞)上的定積分

令 $I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x$

$\begin{aligned} I^{2} &=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^{2}} d y \\ &=\iint e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y \\ &=\iint e^{-r^{2}} r d r d \theta \\ &=\int_{0}^{ \pi} d \theta \cdot2 \int_{0}^{+\infty} e^{-r^{2}} r d r \\ &=\left.\theta\right|_{0} ^{ \pi} \cdot\left(2\cdot-\frac{1}{2}\left.e^{-r^{2}}\right|_{0} ^{+\infty}\right) \\ &= \pi \cdot 1 \\ &=\pi \end{aligned}$

故 $I=\sqrt{\pi}$

什麼是超越函數

超越函數(Transcendental Functions)，指的是變量之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數。

歐拉把約翰·貝努利給出的函數定義稱爲解析函數，並進一步把它區分爲代數函數（只有自變量間的代數運算）和超越函數（三角函數、對數函數以及變量的無理數冪所表示的函數），還考慮了“隨意函數”（表示任意畫出曲線的函數）。

綜上，超越函數，即"超出"代數函數範圍的函數。