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03複雜度分析（上）：如何分析、統計算法的執行效率和資源消耗？
1.爲什麼需要複雜度分析？
我們把代碼跑一遍，通過統計、監控，就能得到算法執行的時間和佔用內存的大小。爲什麼還要做時間、空間複雜度分析呢？這種分析方法比我跑一遍代碼得到的數據更準確嗎？
首先，可以肯定這種評估算法執行效率的方法是正確的，叫事後統計法。但是，這種統計方法有很大的侷限性。
1.測試結果非常依賴測試環境
- 測試環境中硬件的不同會對測試結果產生很大的影響。比如，分別用i9處理器和i3處理器運行。還有，a代碼和b代碼在不同機器上的運行速度可能會有截然相反的結果。
2.測試結果受數據規模大小的影響
- 舉個例子，同一個排序算法，待排序數據的有序度不一樣，排序的執行時間會有很大差別。極端情況下，如果數據已經近乎有序，排序算法幾乎不需要做任何操作，執行時間就會非常短。如果測試數據規模太小，測試結果可能無法真實地反映算法的性能。比如，對小規模的數據排序，插入排序可能比快速排序更快。
2.大O複雜度表示法
粗略的講，算法的執行效率就是算法代碼的執行時間。但是，如何在不運行代碼的情況下，用“肉眼”判斷一段代碼的執行時間？
這裏有段簡單的代碼，求1，2，3，…，n的累加和，下面去估算這段代碼的執行時間。
int cal(int n){
int sum = 0;
int i = 1;
for(; i <= n; ++i){
sum = sum + i;
}
return sum;
}
從CPU的角度看，這段代碼每行都執行類似的操作，儘管每行代碼對應的CPU執行的個數、執行的時間都不一樣。但是，我們只是粗略估計，假設每行代碼執行的時間都一樣，爲unit_time。
第2/3行代碼分別需要1個unit_time的執行時間，第4/5行代碼都運行n次，需要2n*unit_time的執行時間。所以，這段代碼總的執行時間爲
(2n+2)*unit_time。代碼的執行時間T(n)與每行代碼的執行次數成正比。
按照這個思路分析，再來看一段代碼。
int cal(int n){
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for(; i <= n; ++i){
j = 1;
for(; j <= n; ++j){
sum = sum + i * j;
}
}
return sum;
}
依舊假設每個語句的執行時間都是unit_time。第2/3/4行代碼，都需要一個unit_time的執行時間，第5/6行代碼循環執行n遍，需要2n*unit_time的執行時間，第7/8行代碼循環執行了n2遍， 需要2n2 * unit_time的執行時間。所以，整段代碼總的執行時間T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。
儘管我們不知道unit_time的具體值，但是通過這兩段代碼執行時間的推導，可以得到一個非常重要的規律。即，代碼的執行時間T(n)與每段代碼的執行次數n成正比。把這個規律總結成一個公式，如下：T(n) = O(f(n))。
解釋一下這個公式。其中，T(n)已經講過了，它表示代碼執行的時間；n表示數據規模的大小；f(n)表示每行代碼執行的次數總和。公式中的O，表示代碼的執行時間T(n)與f(n)表達式成正比。
所以，第一個例子中的T(n) = O(2n+2)，第二個例子中的T(n) = O(2n2+2n+3)。這就是大O時間複雜度表示法。大O時間複雜度實際上並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增長的變化趨勢。所以，也叫漸進時間複雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間複雜度。
當n很大時，你可以把它想象成10000、100000。而公式中的低階、常量、係數三部分並不左右增長趨勢，所以都可以忽略。我們只需要記錄一個最大量級就可以了，如果用大O表示法表示剛講的那兩段代碼的時間複雜度，就可以記爲：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。
3.時間複雜度分析
如何分析一段代碼的時間複雜度？有三個比較實用的方法。
1.只關注循環執行次數最多的一次代碼。
- 剛纔說了，大O複雜度表示方法只表示一種變化趨勢。我們通常會忽略掉公式中的常量、低階、係數，只需要記錄一個最大階的量級就可以了。所以，我們在分析一個算法、一段代碼的時間複雜度的時候，只關注循環執行次數最多的那一段代碼就可以了。這段核心代碼執行次數的n的量級，就是整段要分析代碼的時間複雜度。爲了便於理解，拿例子來說明。
int cal(int n){
int sum = 0;
int i = 1;
for(; i <= n; ++i){
sum = sum + i;
}
return sum;
}
第2/3行代碼都是常量級的執行時間，與n的大小無關，所以對於複雜度並沒有影響。循環執行次數最多的是第4/5行代碼，這兩行代碼被執行了n次，所以總的時間複雜度就是O(n)。
2.加法法則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度。
- 這裏還有一段代碼。先試着分析一下，然後再往下看分析思路。
int cal(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) {
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
代碼分爲三部分，分別是求sum_1、sum_2、sum_3。我們可以分別分析每一部分的時間複雜度，然後把它們放到一塊兒，再取一個量級最大的作爲整段代碼的複雜度。
第一段的時間複雜度是多少呢？這段代碼循環執行了100次，所以是一個常量的執行時間，跟n的規模無關。再強調一下，即便這段代碼循環10000次、100000次，只要是一個已知的數，跟n無關，照樣也是常量級的執行時間。當n無限大的時候，就可以忽略。回到時間複雜度的概念來說，它表示的是一個算法執行效率與數據規模增長的變化趨勢，所以不管常量的執行時間多大，我們都可以忽略掉。因爲它本身對增長趨勢並沒有影響。
第二段代碼和第三段代碼的時間複雜度是多少呢？答案是O(n)和O(n2)。綜合這三段代碼的時間複雜度，我們取其中最大的量級。所以，整段代碼的時間複雜度就爲O(n2)。也就是說：總的時間複雜度就等於量級最大的那段代碼的時間複雜度。那我們將這個規律抽象成公式就是：如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))。
3.乘法法則：嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積
- 剛講了一個複雜度分析中的加法法則，這兒還有一個乘法法則。類比一下，你應該能“猜到”公式。如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n))。
假設T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，則T1(n) * T2(n) = O(n3)。落實到具體的代碼上，可以把乘法法則看成是嵌套循環，舉個例子。
int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
ret = ret + f(i);
}
}
int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
單獨看cal()函數。假設f()只是一個普通的操作，那第4～6行的時間複雜度就是，T1(n) = O(n)。但f()函數本身不是一個簡單的操作，它的時間複雜度T2(n)=O(n)，所以，整個cal()函數的時間複雜度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。
講了三種複雜度的分析技巧。不過，你並不用刻意去記憶。實際上，複雜度分析這個東西關鍵在於“熟練”。你只要多看案例，多分析，就能做到“無招勝有招”。
4.幾種常見時間複雜度分析
雖然代碼千差萬別，但是常見的複雜度量級並不多。總結一下，這些複雜度量級幾乎涵蓋了你今後可以接觸的所有代碼的複雜度量級。
羅列的複雜度量級，可以粗略地分爲兩類，多項式量級和非多項式量級。其中，非多項式量級只有兩個：O(2n)和O(n!)。當數據規模n越來越大時，非多項式量級算法的執行時間會急劇增加，求解問題的執行時間會無限增長。所以，非多項式時間複雜度的算法其實是非常低效的算法。關於NP時間複雜度不展開講，主要看幾種常見的多項式時間複雜度。
1.O(1)
- 必須明確一個概念，O(1)只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並不是指只執行了一行代碼。這段代碼即便有3行，它的時間複雜度也是O(1），而不是O(3)。
int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;
只要代碼的執行時間不隨n的增大而增長，時間複雜度都記作O(1)。或者說，一般情況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即使有成千上萬行的代碼，其時間複雜度也是Ο(1)。
2.O(logn)、O(nlogn)
- 對數階時間複雜度非常常見，也是最難分析的一種時間複雜度，舉例說明。
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
第三行代碼是循環執行次數最多的。所以，我們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間複雜度。從代碼中可以看出，變量i的值從1開始取，每循環一次就乘以2。當大於n時，循環結束。實際上，變量i的取值就是一個等比數列。通過2x=n求解，x=log2n。所以，這段代碼的時間複雜度爲O(log2n)。把代碼稍微改下，你再看看，這段代碼的時間複雜度是多少？
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}
很簡單就能看出來，這段代碼的時間複雜度爲O(log3n)。不管是以2爲底、以3爲底，還是以10爲底，我們可以把所有對數階的時間複雜度都記爲O(logn)。爲什麼呢？
我們知道，對數之間是可以互相轉換的，log3n就等於log32 * log2n，所以O(log3n) = O(C * log2n)，其中C=log32是一個常量。在採用大O標記複雜度的時候，可以忽略係數，即O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等於O(log3n)。因此，在對數階時間複雜度的表示方法裏，我們忽略對數的“底”，統一表示爲O(logn)。
如果理解了O(logn)，那O(nlogn)就容易理解了。還記得我們剛講的乘法法則嗎？如果一段代碼的時間複雜度是O(logn)，我們循環執行n遍，時間複雜度O(nlogn)。而且，O(nlogn)也是一種非常常見的算法時間複雜度。比如，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是O(nlogn)。
3.O(m+n)、O(m*n)
- 再來講一種跟前面都不一樣的時間複雜度，代碼的複雜度由兩個數據的規模來決定。老規矩，先看代碼！
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
從代碼中可以看出，m和n是表示兩個數據規模。我們無法事先評估m和n誰的量級大，所以我們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其一個。所以，上面代碼的時間複雜度就是O(m+n)。針對這種情況，原來的加法法則就不正確了，我們需要將加法規則改爲：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法則繼續有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
5.空間複雜度分析
前面花了很長時間講大O表示法和時間複雜度分析，理解了前面講的內容，空間複雜度分析方法學起來就非常簡單了。時間複雜度的全稱是漸進時間複雜度，表示算法的執行時間與數據規模之間的增長關係。類比一下，空間複雜度全稱就是漸進空間複雜度（asymptotic space complexity），表示算法的存儲空間與數據規模之間的增長關係。
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}
跟時間複雜度分析一樣，可以看到第2行代碼中，我們申請了一個空間存儲變量i，但是它是常量階的，跟數據規模n沒有關係，所以我們可以忽略。第3行申請了一個大小爲n的int類型數組，除此之外，剩下的代碼都沒有佔用更多的空間，所以整段代碼的空間複雜度就是O(n)。我們常見的空間複雜度就是O(1)、O(n)、O(n2 )，像O(logn)、O(nlogn)這樣的對數階複雜度平時都用不到。而且，空間複雜度分析比時間複雜度分析要簡單很多。
6.內容小結
複雜度也叫漸進複雜度，包括時間複雜度和空間複雜度，用來分析算法執行效率與數據規模之間的增長關係，可以粗略地表示，越高階複雜度的算法，執行效率
越低。常見的複雜度並不多，從低階到高階有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。幾乎所有的數據結構和算法的複雜度都跑不出這幾個。
複雜度分析並不難，關鍵在於多練。每次看到代碼的時候，簡單的一眼就能看出其複雜度，難的稍微分析一下就能得出答案。（多思考多練習）