在開始瞭解這些變換之前，簡單複習一下級數的概念：
級數的概念之所以重要，是因爲我們現實生活中經常遇到一些不規則的函數，爲了方便我們的研究，我們希望能有一種方法來用簡單的多項式或者多個函數來近似表示這個函數，這就是我們研究級數的原因：任意一個函數都能用多項式逼近； 假定我們有一個函數f(x),他的曲線是不規則的，我們很難去探索這種曲線的性質，但是如果我們把這種曲線展開成f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+........., 展開式中的函數式我們熟悉的，這樣會更便於我們的分析。如果這個例子還不夠透徹，那麼我們先把這個結論記住，學完泰勒級數和傅里葉級數之後我們也許會有更好的理解。
級數定義：又數列構成的表達式：u1+u2+u3+......+un+..... 稱爲級數，記作∑∞n=1 ,即：
∑n=1∞=u1+u2+u3+......+un+.....
需要注意的是，我們取級數的前n項的和
Sn=u1+u2+u3+......+un ,當
n→∞ 時
S 極限存在，我們說這個級數收斂。這裏要與數列的收斂區分開，當
n→∞ 時
xn→a ,此時我們說數列
x1,x2,,,,xn 是收斂的，但是此時對應的級數確不一定收斂。舉例如調和級數：
∑∞n=11n .但是級數收斂一定決定了對應的數列的收斂的。判斷級數是否收斂有多重方法，例如比值法根值法等等，再此不作過多描述。
泰勒級數：泰勒公式的一般式爲：
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+.....+fn(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)
其中最後一項稱爲餘項，指示誤差。對泰勒展開不太清楚的同學可以參考下這篇文章：（
http://wenku.baidu.com/view/9ecac6bcf121dd36a32d82f4.html），目前我對此公式是先接受，有機會我將研究一下這個的來歷，順便看看能不能對高階無窮小有更好的理解。
到這裏， 如果我們取泰勒公式的前幾項，即：f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0) ,你會看到啥？對的，這就是在某點x0 附近，用直線來近似表示函數嘛！對的，這樣分析就比直接分析不規則函數f(x)簡單很多，當然，取得級數的項越多，就會越接近函數值，對於我們來說，即使我們取N 階泰勒級數，也比直接分析f(x)容易很多吧。如果還不夠透徹，我們繼續看傅里葉級數。
傅里葉級數：
插播一條正交函數的概念：
二維空間中，我們有正交向量a⃗ ,b⃗ 互相垂直，從另外一個角度上說，也就是向量a⃗ 在向量b⃗ 方向上沒有分量。
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然而你說這個幹啥？我是想說，這樣二維空間裏的向量其實都可以分解到這兩個互相垂直的向量上，也就是說，a⃗ 和b⃗ 是二維空間裏的一組基！二維空間的向量都可以由他們來表示！用類比的思想，如果我們在二維空間裏有兩個函數正交（互相垂直），那麼二維空間裏的函數是否可以由這兩個函數來表示呢？其實是這個樣子！ 如果在區間[t1,t2]內用函數x1(t) 近似表示x2(t) ，x1(t)≈c12x2(t) ,當均方誤差最小時，我們說這種近似程度最好，均方誤差的定義爲：ϵ=1t2−t1∫t2t1[x1(t)−x2(t)]2dt ,對其求導可以求得取得最小值時的狀態： c12=∫t2t1x1(t)x2(t)dt∫t2t1x22(t)dt 。當c12等於零時我們說這兩個函數正交，類比於向量中的正交，我們說這兩個函數是互相垂直的。
瞭解了正交函數的概念之後，我們可以對這個概念往高維擴展。如果我們知道了N維空間的一組正交函數基，那我們就可以把一個函數分解到N維空間裏去。三角函數集（歐拉變換後得負指數函數）就是常用的一組基！他們通常表示爲：1,cos(Ω1t),sin(Ω1t),cos(2Ω1t),sin(2Ω1t),.....,cos(nΩ1t),sin(nΩ1t) ,每個正餘弦函數對組成了一組基，如果覺得兩個函數來表示一個空間的基比較費解，我們可以根據eiθ=cosθ+isinθ ,復指數函數eiθ 對應了函數在N維空間下的某個基，類比向量空間中的正交基i,j,k 。故函數的分解也就類似於向量在正交基下的分解。總結起來就是：傅里葉級數是函數以einθ 爲基的n維空間下的分解。數學是統一合理和美的，對吧！
這就是傅里葉級數的來歷，我們可以把函數表示成：
x(t)=a0+a1cos(Ω1t)+b1sin(Ω1t+a2cos(2Ω1t),+b2sin(2Ω1t)+...+ancos(nΩ1t),+bnsin(nΩ1t)
同理，類比向量，
a1,b1.... 就是函數在對應的基
cos(Ω1t),sin(Ω1t)...... 下的投影！那麼投影是多大呢？回想上面我們介紹的正交函數概念的時候，我們想用函數x2(t)近似表示x1(t),求出的
c12 就是函數x1(t)在x2(t)方向上的投影的長度！那麼求
a1,b1.... 其實就是求對應基下的
c12 的值！再加上我們採用的基的模爲1，也就是
c12 的分母爲1。這樣求得的
an ,
bn 就是我們求傅里葉變換時經常看到的樣子了。
到這裏，我們的傅里葉級數就千呼萬喚始出來了：
x(t)=a0+∑n=1∞[ancos(nΩ1t)+bnsin(nΩ1t)]
這裏的
a0 代表直流分量，他的大小表示爲
a0=1T∫t0+Tt0x(t)dt 。根據我們上面對
an 和
bn 的值的含義的分析，很容易推導出：
an=1T∫t0+Tt0x(t)cos(nΩ1t)dt,bn=1T∫t0+Tt0x(t)sin(nΩ1t)dt .在這裏需要提及的是：
Ω1 ,這個東西代表基頻，應該重提的是，傅里葉級數一般用來表示週期爲T的信號，這裏的基頻的大小
Ω1=2π/T 。後面還會出現很多名詞諸如數字頻率模擬頻率採樣頻率，要注意區分。
說道這裏，好像只是灌輸了一個傅里葉級數的改變，似乎還是沒說清楚這樣做有什麼作用。回想一下在討論線性時不變系統時，我們說對系統輸入某種頻率某種形狀的信號，則對應的輸出也應該是同種類型的信號（階躍輸入對應輸出波形應該也是階躍），但是雖然波形一樣，但相對輸入波形，輸出波形發生了頻率和幅值上的改變（變頻和相移）。因此我們希望討論某種頻率信號時，系統的輸出（頻率響應），就可以探討整個系統的性質。此時如果我們把輸入分解成一些頻率的信號，就可以很容易的找到對應的輸出，對於線性系統，總的輸出是所有單個輸入信號對應輸出的疊加。
又如我們經常提到高頻噪聲的概念，通常我們說需要設計某些低通濾波器濾去高頻噪聲，那麼什麼是高頻噪聲？噪聲爲什麼是高頻的呢？
![這裏寫圖片描述]()
這是我從維基裏面截的一幅圖，我們可以用傅里葉級數去逼近一個方波。當我們只取直流分量和基頻分量時，綠色的傅里葉級數是一個正弦波，雖然他可以近似表示方波，我們可以看出他的誤差是非常大的，我們繼續多取幾個傅里葉級數中的項，可以看出取得項數越多，綠色的信號就越接近方波。而傅里葉級數對應的項數越多，對應我們取得高頻的分量就越多，邊緣信號就越接近。而且吉布斯現象也告訴了我們，高頻分量主要影響的是跳變沿部分。通常我們希望系統能夠平滑的變化，然而噪聲往往都是不規整的劇烈變化的擾動，這就是爲什麼跳變的噪聲一般都是高頻的。
如果這樣說還是不清楚，還有一幅圖可能更好理解一點【3】：
![這裏寫圖片描述]()
這裏的一條條曲線代表特定頻率的分量。
那麼什麼是低通濾波器呢？
之前我們討論過信號在時域內的分析，如果我們有衝擊響應h(t) ,那麼系統輸出就等於輸入與衝擊響應的卷積即y(t)=x(t)∗h(t) ，這是我們在時域中分析信號的方法，如果採用傅里葉級數，換算到頻率域（頻率域指主要以頻率爲輸入分析輸出的域），正好對應頻域中的相乘，即:Y(jω)=X(jω)H(jω) (這裏的Y(jω),X(jω),H(jω) 表示y(t),x(t),h(t) 對應的傅里葉變換，後面我們會介紹。這裏只是說明時域和頻域的轉換關係)。卷積變成乘法，就會好處理很多。講到這裏，我們似乎看到了濾波器的曙光（還是想囉嗦一下，你看，濾波器，濾的是波啊，你光看函數是沒有波的，只有傅里葉分解才能看見各種波）。我們想，如果系統的函數H(jω) ，這是一個與頻率有關的函數，只在低頻部分有值，其餘部分都爲零，那麼我們用輸入X(jω) 和他做對應乘法，那麼X(jω) 的高頻部分是不是都乘了0，也就是說輸出的Y(jω) 高頻部分都爲零，對了，這就通過系統H(jω) ，搞掉了高頻，這就是低通濾波器！正是因爲這樣，我們很有必要研究H(jω) 函數的曲線，這就是頻率幅度曲線和頻率相位曲線的作用——他可以告訴我們目前的系統，對應每種頻率，幅度和相位的狀態。這裏有一篇文章說的非常好http://my.oschina.net/u/184090/blog?disp=2&catalog=0&sort=time&下圖也是取自這篇文章，可以幫助我們理解。
![這裏寫圖片描述]()
分析到這裏，我們大概能知道分析頻譜的作用了吧。
參考
【1】信號分析與處理 楊西俠 王劃一 機械工業出版社
【2】http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%89%E5%B8%83%E6%96%AF%E7%8E%B0%E8%B1%A1
【3】http://my.oschina.net/u/184090/blog?disp=2&catalog=0&sort=time&
