《國際最佳數學徵解問題分析》P77（單位根反演+生成函數）

問題

給定$x_1,...,x_n$，令$x_i^{(1)} = \frac{x_i+x_{i+1}}{2}$，$i=1,...,n$，其中$x_{n+i}=x_i$.
歸納地定義$x_{i}^{(k)}=\frac{x_i^{(k-1)}+x_{i+1}^{(k-1)}}{2},i=1,...,n$

其中$x_{n+1}^{(k-1)}=x_1^{(k-1)}$，$k=2,3,...$。證明：對於$i=1,...,n$均成立
$\lim_{k \rightarrow \infty} x_i^{(k)} = \frac{x_1+...+x_n}{n}$

證明：

令$w$表示$n$次單位根，構造生成函數：
$F_0(w) = \sum_{i=1}^n x_iw^{n-i}$
那麼顯然$F_i(w) = \frac{1+w}{2}F_{i-1}(w) \Rightarrow F_{k}(w) = (\frac{1+w}{2})^k F_0(w)$。

考慮每個$x_i$的係數，可以發現問題歸結爲證明在二項式係數$\binom{k}{0},\binom{k}{1},...,\binom{k}{k}$中將相隔$n$項的各項取和後除以$2^k$，當$k\to \infty$極限爲$\frac{1}{n}$，即往證：$\forall 0 \le i <n,\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\sum_{j=0}^{\infty}\binom{k}{i+jn}}{2^k} = \frac{1}{n}$

觀察這個$i+jn$，是不是有點單位根反演的感覺？

$\begin{aligned}\sum_{j=0}^{\infty}\binom{k}{i+jn} &= \sum_{v=0}^{k}\binom{k}{v}\frac{\sum_{j=0}^{n-1}(w^{v-i})^j}{n}\\ &=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}w^{-ij}\sum_{v=0}^k\binom{k}{v}w^{vj} \\&=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}w^{-ij}(1+w^j)^k \end{aligned}$

上式除以$2^k$後，只有$j=0$項極限不爲0，故得到極限爲$\frac{1}{n}$，故原結論成立。