B樹和B+樹畫圖詳解

B樹系列

B樹和B+樹的出現是爲了查詢數據時減少磁盤的IO次數，我們知道平衡二叉查找樹是一種查詢速度很快的數據結構。它的時間複雜度爲（logN），但是它由於是一個二叉樹，所以樹的高度相對於多叉樹來講是比較高的，所以爲了平衡磁盤IO與時間複雜度直接的關係，我們引入了B樹和B+樹；

1. B樹

上圖爲一個3-4樹，或者叫4階樹，即一個節點最多存儲3個key，一個節點最多有4個孩子（3+1）；

在B樹裏，一個節點裏面有多個key；

1. B樹特點

• 每個節點最多有m-1個關鍵字（可以存有的鍵值對）；
• 根節點最少可以只有一個關鍵字；
• 非根節點至少有m / 2 個關鍵字；
• 每個節點中的關鍵字都按照從小到大的順序排列，每個關鍵字的左子樹中的所有關鍵字都小於它，而右子樹中的所有關鍵字都大於它；
• 所有葉子節點都位於同一層，或者說根節點到每個葉子節點的長度都相同；
• 每個節點都存有索引和數據，也就是對應的key和value；

所以得到結論：

• 根節點的關鍵字數量範圍：1 <= k <= m-1；
• 非根節點的關鍵字數量範圍：m/2 <= k <= m-1；

所以我們在描述一個B樹的時候需要指定它的階數，階數表示了一個節點最多有多少個孩子節點，一般用 m 表示階數；

2. B樹的分裂過程：（插入）

分裂：高度是分裂出來的

• 插入的時候永遠在最下面的節點中進行插入（該在哪一塊，從上往下找唄，因爲這也是搜索樹啊）；
• 中間的那個數往上走成爲一個新的節點，將分爲左和右；
  

3. B樹的刪除操作

• 如果刪除的是葉子節點中的元素，且刪除之後，那個葉子節點數還是大於m/2，這種情況直接刪除即可；

• 刪除非葉子節點中的元素，如下圖：
  [外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳
  
  要刪除22這個節點，對於非葉子節點的刪除，我們要將後繼key覆蓋要刪除的key，然後在後繼key所在的子支中刪除這個key，結果如下：
  

  此時發現26所在節點只有一個元素了，小於m/2，不符合B樹特點，如果它的兄弟節點的元素大於m/2，此時就要向它的兄弟節點借取，具體方法就是先向父節點借取，然後兄弟節點再給父節點補充，如下圖：
  
  

2. B+樹

1. B樹和B+樹的相同點：

• 根節點至少一個元素；
• 非根節點的元素範圍：m/2 <= k <=m-1

2. B樹和B+樹的不同點

• B+樹有兩種類型的節點：內部節點（也稱索引節點）和葉子節點 ；
  • 內部節點就是非葉子節點，內部節點不存儲數據，只存儲索引，數據都存儲在葉子節點；
• 內部節點中的key都按照從小到大的順序排列，對於內部節點中的一個key，左樹種所有key都小於它，右樹中所有key都大於等於它，葉子節點中的記錄也按照key的大小排列；
• 每個葉子節點都存有相鄰葉子節點的指針，葉子節點本身依關鍵字的大小自小而大順序鏈接；
• 父節點存有右孩子的第一個元素的索引；

下面看一個B+樹的圖片來感受感受：

3. B+樹的插入操作

以下面的這顆5階的B+樹（m爲5）爲例，5階B+樹的節點最多4個元素，最少2個元素；

• 插入5，10，15，20
  

• 然後插入25，此時元素個數大於m-1，需要分裂：
  
• 接着插入26，30，繼續分裂：
  

3. B樹和B+樹總結⭐

B+樹相對於B樹有一些自己的優勢，可以歸結爲下面幾點：

• 單一節點存儲的元素更多，使得查詢的IO次數更少，所以也就使得它更適合作爲數據庫MySQL的底層數據結構；
• 所有的查詢都要查找到葉子節點，查詢性能是穩定的，而B樹，每個節點都可以查找到數據，所以不穩定；
• 所有的葉子節點形成了一個有序鏈表，更加便於查找；

4. 搜索樹總結

模型：

• key模型（Set）
• Map模型

哈希表和搜索樹的比較：

• 哈希表的時間複雜度爲O（1）
• 搜索樹不會遭到惡意衝突
• 搜索樹的中序是有序的
  • 這個優點比如在數據庫的ORDER BY語句中，假如使用了索引，則直接返回其中序遍歷索引即可；
• hash表只支持等值查詢，不易於範圍查詢，而搜索樹實現範圍查詢就很容易；

B-樹、B+樹、B樹的區別（B只做瞭解即可）

數據庫中的索引就是在原有的數據之外又建立了一個B系列樹（MySQL中InnoDB爲B+樹）；

數據庫也支持hash索引，這種索引只用於等值查詢；