【題解】「USACO2004NOV」Apple Catching（DP）

題面

【題目描述】
很少有人知道奶牛愛喫蘋果．農夫約翰的農場上有兩棵蘋果樹（編號爲$1$和$2$），每一棵樹上都長滿了蘋果．奶牛貝茜無法摘下樹上的蘋果，所以她只能等待蘋果從樹上落下．但是，由於蘋果掉到地上會摔爛，貝茜必須在半空中接住蘋果（沒有人愛喫摔爛的蘋果）．貝茜喫東西很快，所以她接到蘋果後僅用幾秒鐘就能喫完．每一分鐘，兩棵蘋果樹其中的一棵會掉落一個蘋果．貝茜已經過了足夠的訓練，只要站在樹下就一定能接住這棵樹上掉落的蘋果．同時，貝茜能夠在兩棵樹之間快速移動（移動時間遠少於1分鐘），因此當蘋果掉落時，她必定站在兩棵樹其中的一棵下面．此外，奶牛不願意不停地往返於兩棵樹之間，因此會錯過一些蘋果, 蘋果每分鐘掉落一個，共$T(1≤T≤1000)$分鐘，貝茜最多願意移動$W(I≤w≤30)$次.
現給出每分鐘掉落蘋果的樹的編號，要求判定貝茜能夠接住的最多蘋果數．開始時貝茜在$1$號樹下．
【輸入】
第$1$行：由空格隔開的兩個整數$T$和$W$.
第$2$到$T+1$行：$1$或$2$（每分鐘掉落蘋果的樹的編號）．
【輸出】
在貝茜移動次數不超過W的前提下她能接到的最多蘋果數
【樣例輸入】

7 2
2
1
1
2
2
1
1

【樣例輸出】

6

【樣例解釋】
$7$分鐘內共掉落$7$個蘋果一一第$1$個從第$2$棵樹上掉落，接下來的$2$個蘋果從第$1$棵樹上掉落，再接下來的$2$個從第$2$棵樹上掉落，最後$2$個從第$1$棵樹上掉落．
貝茜不移動直到接到從第$1$棵樹上掉落的兩個蘋果，然後移動到第$2$棵樹下，直到接到從第$2$棵樹上掉落的兩個蘋果，最後移動到第$1$棵樹下，接住最後兩個從第$1$棵樹上掉落的蘋果．這樣貝茜共接住$6$個蘋果．

算法分析

我們需要知道貝西當前在在一棵樹下，使用了多少次移動次數，當前的時間。那麼就定義一個數組表示這些信息：

狀態：
$f[t][i][j]$——$t$分鐘，移動$i$次，此時在第$j$棵樹下得到的最多蘋果數。

狀態轉移方程：
考慮第$i$分鐘時，是否進行移動，移動到哪一棵樹下。
爲了寫代碼方便，使用數組$a[0][t]$表示$t$分鐘第$1$棵蘋果樹掉落的蘋果，$a[1][t]$表示$t$分鐘第$2$棵蘋果樹掉落的蘋果，當前在第$j$棵蘋果樹下，移動就會移動到第$(j+1)\%2$棵蘋果數下。
分兩種情況：
不移動：$f[t][i][j]=f[t-1][i][j]+a[j][t]$，$(1<=t<=T，0<=i<=W)$
移動：$f[t][i][j]=f[t-1][i-1][(j+1)\%2]+a[(j+1)\%2][t]$
取一個$max$值。
時間複雜度：$O(TW)$

參考程序

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010
using namespace std;
int n,m;
int a[2][N];    //a[0]爲第一棵樹，a[1]爲第二棵樹 
int f[N][33][2];    //f[t][i][j]，t分鐘，移動i次，在第j棵樹下 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        if(x==1) a[0][i]=1;
        else a[1][i]=1;
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=1;j++)
            f[0][i][j]=0;   
    for(int t=1;t<=n;t++)
        for(int i=0;i<=m;i++)
            for(int j=0;j<=1;j++)
            {
                if(i==0)
                    f[t][i][j]=f[t-1][i][j]+a[j][t];	
                else
                    f[t][i][j]=max(f[t-1][i][j]+a[j][t],f[t-1][i-1][(j+1)%2]+a[(j+1)%2][t]);//不移動或者移動 
                if(t==n) ans=max(f[n][i][j],ans);
            } 
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}