【題解】逆序對（樹狀數組）

題面

【題目描述】
給定一個序列$a_1,a_2,...,a_n$,如果存在$i < j$並且$a_i>a_j$,那麼我們稱之爲逆序對，求逆序對的數目。
【輸入】
第一行爲$n$，表示序列長度，接下來的$n$行，第$n+1$行表示序列中的第$i$個數。
【輸出】
所有逆序對總數。
【樣例輸入】

4
3
2
3
2

【樣例輸出】

3

【數據範圍】
$n<=10^5,a_i<=10^5。$

算法分析

歸併對可以使用歸併排序求解，在這裏我們使用樹狀數組來實現。
（1）定義數組$s$，$s[x]$表示數值爲$x$出現的次數，即桶計數。
再定義樹狀數組$c$，$c[x]$表示數值在區間$[x-lobit(x)+1,x]$的個數。
（2）逆序訪問$n$個數（$a[n],a[n-1] ,...a[1]$）,對於$a[i]$，統計前綴和$sum(i-1)$，表示值範圍在$1$ ~ $i-1$的個數，因爲逆序訪問，前綴和包含的數全部比$a[i]$小，且在$a[i]$後面，形成了逆序對$sum[i-1]$個。
（3）將每次前綴和相加，就是最後的答案。
（4）訪問完a[i]，就執行單點增加，數值爲a[i]的個數+1，即s[a[i]]+1。
如果數值太大，桶裝不下怎麼辦呢？可以使用離散化，所謂離散化就是把無限空間中有限的個體映射到有限的空間中去，以此提高算法的時空效率。通俗的說，離散化是在不改變數據相對大小的條件下，對數據進行相應的縮小。
例如：我需要求解序列：99999999 199999999 88888888的逆序對，實際可以看作是求序列：1 3 2的逆序對，因爲逆序對跟大小關係有關，和具體的值無關。
【程序實現】：
這裏的s數組，可以不使用，方便大家理解。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 500100
using namespace std;
int n,c[N],a[N],maxn;
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void update(int x,int val)
{
    for(int i=x;i<=maxn;i+=lowbit(i))	
        c[i]+=val;
}
int sum(int x)
{
    int ans=0;
   for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
        ans+=c[i];
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        maxn=max(maxn,a[i]);	//最大值 
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        ans+=(long long)sum(a[i]-1);
        update(a[i],1);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
 }