【詳解】線段樹掃描線

題目

「VOJ1056」圖形面積

桌面上放了$N$個平行於座標軸的矩形，這$N$個矩形可能有互相覆蓋的部分，求它們組成的圖形的面積。
【輸入】
有多組測試數據。
每組測試數據輸入第一行爲一個數$N$，表示矩形的數量。
下面$N$行，每行四個整數，分別表示每個矩形的左下角和右上角的座標，座標範圍爲$–10^8$到$10^8$之間的整數。
當$N==0$時，測試文件結束。
【輸出】
對於每個測試用例，在單獨一行中輸出一個整數，表示圖形的面積。
【樣例輸入】

1
1 2 3 4
3
1 1 4 3
2 -1 3 2
4 0 5 2
0

【樣例輸出】

4
10

【數據範圍】
對於$50\%$的數據，$0<N<=100$，每個測試點測試數據組數$<=20$。
對於$50\%$的數據，座標範圍爲$–500$到$500$之間的整數。
對於$100\%$的數據，$0<N<=2000$，每個測試點測試數據組數$<=50$，座標範圍爲$–10^8$到$10^8$之間的整數。

線段樹掃描線

線段樹掃描線就是用來解決圖像面積並的問題。
例如存在下面三個矩形：

我們可以根據矩形的左右邊界分成多個部分求解：


這些紅色的線就稱爲掃描線。

掃描線

從左往右掃過矩形左右邊，每兩條掃描線之間的面積總和就是圖形面積。
每一段面積 = （覆蓋掃描線上的長度和）*（與下一條掃描線的距離）。
可以發現，影響掃描線上的覆蓋長度，只與矩形左右邊相關，因此可以將圖形簡化：

構造一個四元組$line(x,y,yy,flag)$，即結構體，來存在這些矩形左右邊。
$x$：邊的橫座標；
$y,yy$：邊的兩個端點，長度爲yy-y；
$flag$：$1$表示矩形的左邊界，$-1$表示矩形的右邊界。

在掃描線上的覆蓋長度，可以看作邊在$y$軸上的投影，我們將投影分成多段區間：

每一條邊的投影包含連續的多段區間，求掃描線的覆蓋總長度，其實就是多段區間的覆蓋長度。
如果將每段區間看作序列中的一個點，就相當於線段樹的區間修改、區間求和。
（1）構造一個線段樹維護的序列，每個點對應一個區間。
因爲縱座標$y$有重複，需要去重排序。設去重排序後的序列爲$dy[]$，有$t$個。分成$t-1$段區間。
那麼第$i$段區間的左端點爲$dy[i]$,區間長度爲$dy[i+1]-dy[i]$。

再添加兩個數組：
$cnt[k]$：表示線段樹結點$k$表示區間的覆蓋次數。
$len[k]$：表示線段樹結點$k$表示覆蓋區間的長度。
（2）對於每一條邊$line(x,y,yy,flag)$，相當於對覆蓋的區間結點進行增加$flag$。
如何找到$y$和$yy$對應哪一段區間？
二分查找，因爲$dy[]$已經是去重且有序的。
需要注意邊界情況：
$yy=Half()-1$，$yy>y$，表示第$Half()-1$段區間，區間爲$[ dy[ef()-1] , dy[ef()] )$。$Half()$爲二分函數。
同時根據$cnt[k]$覆蓋次數更新結點：
當覆蓋次數爲$0$時，結點代表的區間不參與計算。

	if(cnt[k]!=0) len[k]=dy[r+1]-dy[l];			//進行了覆蓋，區間長度就是第l段~第r段區間的長度
	else len[k]=len[2*k]+len[2*k+1];			//沒有覆蓋，區間長度就是左右孩子區間長度之和

（3）區間求和，求投影到$y$軸的覆蓋區間。
對於兩條邊$line_1(x_1,y_1,yy_1,flag_1)，line_2(x_2,y_2,yy_2,flag_2)$
掃描線之間的寬度就是$x_2-x_1$
掃描線上的覆蓋長度是$len[1]$
兩條掃描線之間的面積：
$len*(x2-x1)$
$ans+=len*(x2-x1)$，$ans$就是最後的答案。

參考程序

#include<bits/stdc++.h>
#define N 2010
#define LL long long
using namespace std;
struct Line
{
    int x,y,yy,flag;    //掃面線，橫座標爲x，長度爲y~yy 
}line[2*N];
struct Tree
{
    LL len;
    int cnt;
}tree[10*N];//cnt統計區間覆蓋次數,len統計覆蓋的區間長度
int n;
int temp[2*N],dy[2*N],t;     
void dist()             //縱座標去重排序
{
    sort(temp+1,temp+n+1);
    dy[++t]=temp[1]; 
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(temp[i]!=temp[i-1]) dy[++t]=temp[i];
    t--;        //有t個點，分成t-1個段區間 
    return;
} 
int comp(Line a,Line b)
{
    return a.x<b.x?1:0;
}
void built(int k,int l,int r)   //建樹，初始化，第k個結點表示區間[dy[l],dy[l+1]] 
{
    tree[k].len=0;               
    tree[k].cnt=0;
    if(l==r)    return;
    int mid=(l+r)/2;
    built(2*k,l,mid);
    built(2*k+1,mid+1,r);
}
int Half(int k)         //二分查找縱座標對應那一段區間 
{
    int l=1,r=t+1;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(dy[mid]==k) return mid;
        if(dy[mid]<k) l=mid+1;
        else r=mid-1; 
    }
}
void pushdown(int k,int l,int r)
{
    if(tree[k].cnt>0) tree[k].len=dy[r+1]-dy[l]; //覆蓋的區間長度 
    else tree[k].len=tree[2*k].len+tree[2*k+1].len;
}
void update(int k,int l,int r,int X,int Y,int T)
{
    if(l>Y||r<X) return;  //第l~r段區間，是[dy[l],dy[r+1])
    if(X<=l&&r<=Y)
    {
        tree[k].cnt+=T;
        pushdown(k,l,r);
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    update(2*k,l,mid,X,Y,T);
    update(2*k+1,mid+1,r,X,Y,T);
    pushdown(k,l,r);                //回溯更新len 
}
int main()
{
    while((scanf("%d",&n))&&n)
    {
        LL ans=0;
        t=0;
        int a,b,c,d;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
            line[2*i-1]=Line{a,b,d,1};      //矩形左邊界 
            line[2*i]=Line{c,b,d,-1};       //矩形右邊界 
            temp[2*i-1]=b;          //縱座標 
            temp[2*i]=d;
        }
        n*=2;
        dist(); //縱座標去重排序  
        built(1,1,t);
        sort(line+1,line+n+1,comp);     //掃描線排序
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i>1&&line[i].x!=line[i-1].x)  ans+=(line[i].x-line[i-1].x)*tree[1].len;
            int X=Half(line[i].y),Y=Half(line[i].yy)-1;      
            update(1,1,t,X,Y,line[i].flag);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    } 
    return 0;
 }