幸運號碼-dp

題目：

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1個長度爲2N的數，如果左邊N個數的和 = 右邊N個數的和，那麼就是一個幸運號碼。

例如：99、1230、123312是幸運號碼。

給出一個N，求長度爲2N的幸運號碼的數量。由於數量很大，輸出數量 Mod 10^9 + 7的結果即可。

Input

輸入N(1<= N <= 1000)

Output

輸出幸運號碼的數量 Mod 10^9 + 7

Input 示例

 

1

Output 示例

9

題目分析：

N比較小，仔細分析一下題目，有點像動態規劃。想了好久沒整明白遞推方程，沒有完整的寫出來，更解決不了這道題目。

在qq上問了一下，一個人很快就列出了動態方程太牛了，然後自己分析了一下，沒有問題，結果代碼實現，最終也是沒有問題，

這道題目，不能直接求出答案，需要分兩步：第一步，先求出n位數，和爲s的情況種數。這個相信很多人能夠列出狀態方程，類似於揹包吧，

dp[n][s]表示n位，和爲s的號碼個數，方程爲dp[n][s] = 求和（dp[n-1][s-i],i=[0,9]）什麼意思呢？也就是當第n位爲0-9時，和爲s的種類和n-1位，和爲s減去0-9的種類有關，是求和的關係。

那麼得到了上面的結果後，如何求得N位的幸運號碼呢？N位，和爲s的種類數知道了，但是2N位要求前N位的首位不能爲0，而後N位無所謂，那麼首位不爲0的個數怎麼確定呢，這裏有個很巧妙的辦法，就是dp[n][s] - dp[n-1][s]這就是第n位爲0的情況，那麼有了這個就直接可以求出所有的幸運號碼了就是dp[n][s]*(dp[n][s] - dp[n-1][s]),s=[0,9*N],求和就是結果。

有了這些分析，就能夠寫程序了，注意，這裏第n位只和第n-1位有關，所以只需要開闢一個2*N*9的空間就行了，滾動數組，並且要int64，否則會溢出。

下面就直接是代碼了，好好體會動態規劃的分析過程，爲何自己第一時間想不到。。。。很感謝這位好友，這裏分享一下思路，以作總結啦。

代碼：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
//#include <Windows.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1010;
const int MAX = 1000000007;

__int64 dp[2][9*MAXN];

int main()
{
	int N;
	while (cin >> N)
	{
		//int time = GetTickCount();
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		dp[1][0] = 1;
		for (int i = 0; i <= 9; ++ i)
		{
			dp[0][i] = 1;
		}
		for (int i = 1; i < N; ++ i)
		{
			for (int s = 0; s <= 9 * (i+1); ++ s)
			{
				__int64 sum = 0;
				for (int j = 0; j <= 9; ++ j)
				{
					if (s >= j)
					{
						sum = (sum + dp[(i - 1)%2][s - j])%MAX;
					}
					else
						dp[i%2][s] = 0;
				}
				dp[i%2][s] = sum;
			}
		}
		__int64 ans = 0;
		for (int i = 0; i <= N * 9; ++ i)
		{
			ans = (ans + dp[(N+1)%2][i]*(dp[(N+1)%2][i] - dp[N%2][i]))%MAX;
		}

		cout << ans << endl;
	}
}