引述
經過之前幾節的學習，我們瞭解並掌握了皮爾遜相關係數。在學習中我們發現，皮爾遜相關係數的使用條件相當苛刻：兩組變量必須是連續數據、呈現正態分佈，且兩者間必須成線性關係。如果我們在數學建模中拿到一組數據無法滿足以上條件，那麼有沒有其他的方法去判斷兩組變量之間的相關性呢？答案是肯定的，它就是斯皮爾曼相關係數（spearman）.
一、斯皮爾曼相關係數（spearman）
1.定義1
- 定義：X和Y爲兩組數據，其斯皮爾曼（等級）相關係數：
![spearman相關係數]()
其中，di爲Xi和Yi之間的等級差。可以證明：rs位於-1和1之間。 - 等級差
一個數的等級，就是將它所在的一列按照從小到大排序後，這個數所在的位置。
![等級差]()
根據公式計算可得：
X和Y的斯皮爾曼相關係數 rs = 0.875
2.定義2
另一種斯皮爾曼相關係數被定義成等級之間的皮爾遜相關係數。值得注意的是，MATLAB使用的是該定義下的計算方式。
對於上圖，使用MATLAB求解皮爾遜相關係數
%% 使用MATLAB求解皮爾遜相關係數
RX = [2 5 3 4 1]
RY = [1 4.5 3 4.5 2]
R = corrcoef(RX,RY)
計算結果如下：
3.使用MATLAB計算spearman相關係數
1. 兩種用法
- 用法1：
corr(X, Y, 'type', 'Spearman') % X和Y必須是列向量！
- 用法2：
corr(X, 'type', 'Spearman') % 這時計算X矩陣各列之間的斯皮爾曼相關係數
2. 使用MATLAB計算斯皮爾曼相關係數
注：我們所使用的測試數據即爲上圖。
%% 斯皮爾曼相關係數
X = [3 8 4 7 2]' % 一定要變成列向量，" ' "表示求轉置。X = [3 8 4 7 2] 此時爲行向量，轉置後成爲列向量。
Y = [5 10 9 10 6]'
% 第一種計算方法
1-6*(1+0.25+0.25+1)/5/24
% 第二種計算方法
coeff = corr(X , Y , 'type' , 'Spearman')
% 等價於：
RX = [2 5 3 4 1]
RY = [1 4.5 3 4.5 2]
R = corrcoef(RX,RY)
當使用第二種計算方法計算時，所得結果如下：
由此，說明MATLAB使用的是基於第二種定義的計算方法！
3. 皮爾遜相關係數與斯皮爾曼相關係數計算結果的對比
% 計算矩陣各列的斯皮爾曼相關係數
R = corr(Test, 'type' , 'Spearman')
% 計算矩陣各列的皮爾遜相關係數
R = corrcoef(Test)
4. 斯皮爾曼相關係數的假設檢驗
分爲兩種情況：小樣本和大樣本
- 小樣本情況（n ≤ 30），直接查臨界值表
H0：rs = 0； H1：rs ≠ 0
使用得出的斯皮爾曼相關係數 r 與對應的臨界值進行比較。
![斯皮爾曼等級相關的臨界值]()
- 大樣本情況下，統計量
![在這裏插入圖片描述]()
H0：rs = 0； H1：rs ≠ 0，計算檢驗值z*，並求出對應的p值與0.05比較即可。
% 大樣本下的假設檢驗
% 計算檢驗值 z*
disp(sqrt(591-1)*0.0301)
% 計算p值
disp((1-normcdf(0.7311))*2) % normcdf用來計算標準正態分佈的累積概率密度函數
% 直接給出相關係數和p值
[R,P]=corr(Test, 'type' , 'Spearman')
p > 0.05，因此無法拒絕原假設，即該相關係數和0沒有顯著的差異。
二、斯皮爾曼相關係數與皮爾遜相關係數的比較
-
連續數據，正態分佈，線性關係，用皮爾遜相關係數是最巧當的，當然用斯皮爾曼相關係數也可以，只是效率沒有皮爾遜相關係數高；
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上述任一條件不滿足，就使用斯皮爾曼相關係數，不能使用皮爾遜相關係數。
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兩個定序數據之間使用斯皮爾曼相關係數。
定序數據：指僅僅反映觀測對象等級、順序關係的數據，是由尺度計量形成的，表現爲類別，可以進行排序，屬於品質數據。
例如：優、良、差，我們可以用1表示差，2表示良、3表示優，但是，用 2 / 1 = 2 得出的 2 不具有任何含義。定序數據最重要的意義是代表了一組數據中的某種邏輯順序。