爲了避免對這四個問題有一定理解基礎的人看的很煩，個人簡單理解的四個問題：
P問題：有多項式時間算法，算得很快的問題。
NP問題：算起來不確定快不快的問題，但是我們可以快速驗證這個問題的解。
NP-complete問題：屬於NP問題，且屬於NP-hard問題。
NP-hard問題：比NP問題都要難的問題。
詳細說一下這四個問題：
P類問題：存在多項式時間算法的問題。(P：polynominal，多項式)。
我們爲什麼要研究這個P類問題呢？當計算機處理的數據達到100萬個的時候，時間複雜度分別爲 和的算法，運行時間簡直就是天壤之別。所以我們纔要研究一個問題是否具有多項式時間的算法。
NP問題：能在多項式時間內驗證得出一個正確解的問題。(NP:Non deterministic polynominal，非確定性多項式)。
這裏可以清楚的看出P類問題是NP類問題的子集（即存在多項式時間算法的問題，總能在多項式時間內驗證它）。
個人理解NP類問題就是，不知道這個問題存不存在一個多項式時間的算法，所以叫非確定性（non-deterministic）。但是我們可以在多項式時間內驗證並得出這個問題的一個正確解。舉個例子：
著名的NP類問題：旅行家推銷問題(TSP)。即有一個推銷員，要到n個城市推銷商品，他要找出一個包含所有n個城市的環路，這個環路路徑小於a。我們知道這個問題如果單純的用枚舉法來列舉的話會有(n-1)! 種，已經不是多項式時間的算法了，(注：階乘算法比多項式的複雜)。那怎麼辦呢？我們可以用猜的，假設人品爆炸猜幾次就猜中了一條小於長度a的路徑，TSP問題解決了，皆大歡喜。可是，我不可能每次都猜的那麼準，也許我要猜完所有種方案呢？所以我們說，這是一個NP類問題。也就是，我們能在多項式的時間內驗證並得出問題的正確解，可是我們卻不知道該問題是否存在一個多項式時間的算法，每次都能解決他(注意，這裏是不知道，不是不存在)。
所以這就引出了這類討論的一個千年問題：是否 NP類問題=P類問題？
爲了證明這個千古難題，科學家想出了很多辦法。其中之一就是問題的約化。所謂問題約化就是，可以用問題B的算法來解決A ，我們就說問題A可以約化成問題B。舉個例子：一元一次方程的求解，跟二元一次方程的求解，我們知道，只要能求解二元一次方程，那就可以用二元一次方程的解法來求解一元一次方程，只需要將一元一次方程加上y，並附加一個方程y=0就可以將一元一次方程變形爲一個二元一次方程，然後用二元一次方程的解法來求解這個方程。注意，這裏二元一次方程的解法會比一元一次的複雜。所以我們說，只需要找到解二元一次方程的規則性解法，那就能用這個規則性解法來求解一元一次方程。從這裏也可以看出，約化是具有傳遞性的，如A約化到B，B約化到C，A就可以約化到C，同時不斷約化下去，我們會發現一個很驚人的特性，就是他一定會存在一個最大的問題，而我們只需要解決了這個問題，那其下的所有問題也就解決啦！這就是我們所說的NPC問題的概念！！！
3.NPC類問題（Non deterministic Polynomial complete）：
存在這樣一個NP問題，所有的NP問題都可以約化成它。換句話說，只要解決了這個問題，那麼所有的NP問題都解決了。其定義要滿足2個條件：
首先，它得是一個NP問題；然後，所有的NP問題都可以約化到它。
要證明npc問題的思路就是： 先證明它至少是一個NP問題，再證明其中一個已知的NPC問題能約化到它。
4.NP難問題（NP-hard問題）：
NP-Hard問題是這樣一種問題，它滿足NPC問題定義的第二條但不一定要滿足第一條（就是說，NP-Hard問題要比 NPC問題的範圍廣，NP-Hard問題沒有限定屬於NP），即所有的NP問題都能約化到它，但是它不一定是一個NP問題。
以上四個問題他們之間的關係可以用下圖來表示：
