POJ 1942 Paths on a Grid【題解報告|DP巧妙的解決組合數問題】

題目大意

給定一個矩形網格的長m和高n，其中m和n都是unsigned int32類型，一格代表一個單位，就是一步，求從左下角到右上角有多少種走法，每步只能向上或者向右走

解題思路

首先題目上說了答案不會超過int型變量，我們可以簡單算一下，如果是$2*x$的圖，大概$x$在100000左右就會超出int變量的範圍，如果是$3*x,,,m*x$的圖，那麼$x$的範圍會更小，當$1*x$時，返回$x+1$，$0*x$時返回$1$，然後我們討論$m*n$的場景

首先，拿出我們的dp公式，

		for (int i = 1; i <= n; i++)dp[i][1] = 1;
		for (int i = 1; i <= m; i++)dp[1][i] = 1;

		for (int i = 2; i <= n; i++)
			for (int j = 2; j <= m; j++)
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];

此時一個維度最小開100000，那麼很容易MLE，可以觀察到這裏可以使用滾動數組進行一步優化，直接就避免了MLE的情況

		for (int i = 2; i <= n; i++)
			for (int j = 2; j <= m; j++)
				dp[i % 2][j] = dp[(i % 2) ^ 1][j] + dp[i % 2][j - 1];

很多人會遇到TLE的問題，這是因爲一個維度=1時，另一個維度可以非常大，因此我們講一維=1的情況單獨進行討論就避免了TLE。

完整代碼

//1724K	32MS
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define vec vector<int>
#define P pair<int,int>
#define MAX 100000

ll n, m, dp[2][MAX];
string s, t;

int main() {
	while (scanf("%lld %lld", &m, &n) && n + m) {
		memset(dp, 0, sizeof(dp));

		if (m > n)swap(n, m);
		if (m == 0) { cout << 1 << endl; continue; }
		if (m == 1) { cout << n + 1 << endl; continue; }
		n++, m++;
		for (int i = 1; i <= m; i++)dp[1][i] = 1;
		dp[0][1] = dp[1][0] = 1;

		for (int i = 2; i <= n; i++)
			for (int j = 2; j <= m; j++)
				dp[i % 2][j] = dp[(i % 2) ^ 1][j] + dp[i % 2][j - 1];

		cout << dp[n % 2][m] << endl;
	}
}