Poj 1790 Base Numbers【題解報告|DP】

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題目大意

給你一個字符串，裏面的前一部分是一個數，後一部分是表示他的進制，問這個字符串可以表示成多少個數。

思路分析

我們遍歷每一個可能的進制組合，比如$1234$，遍歷$4,34,234$，對每一個進制，用$cnt[i]$表示前$i$位能表示的合法數字的個數，這道題滿足最優子結構，即如果假設$cnt[i-1]...cnt[0]$已經得到了，那麼能夠從他們中得到$cnt[i]$

假設當前進制$t$是一個$r$位的數字，那麼我們要求輸入字符的前$n-r$位能夠湊成多少合法數字，假設$cnt[i-1],cnt[i-2],...,cnt[0]$已經得到了，那麼如果我們固定最後一個數字(該數字的位數最多爲$r$位)，

• 我們取$s[0:i]$的後$r$位作爲一個數字，即$s[i-r:i]$是一個合法的數字且小於$t$，那麼$cnt[i]+=cnt[i-r]$
• 如果我們取後$r-1$位作爲一個數字，顯然他比$t$小（因爲位數少），因此$cnt[i]+=cnt[i-(r-1)]$
• …
• 直到我們取最後一位數字作爲一個數，有$cnt[i]+=cnt[i-1]$

需要注意的是，在這個過程中，我們需要保證取得的數字沒有前導0，剩下一切盡在註釋中

#define ll long long
#define vec vector<int>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define P pair<int,int>
#define MAX 40

string s;
int cnt[MAX], len;

//後r位爲進制位能得到的數字有多少個
ll cnt_num(int r) {
	string t = s.substr(len - r);//t爲當前的進制
	if (t[0] == '0')return 0; //進制的首位不能爲0
	if (s[0] == '0'&&len - r > 1)return 0;//數字的首位爲0，考慮0123，只有一種方式：（0）123

	//遍歷除了進制外的前len-r位數,cnt[i]表示前i位能表示的合法數字的個數
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	//初始化第一位
	if (r > 1 || (r == 1 && s[0] < t[0]))cnt[0] = 1;
	else return 0;//最後一位作爲進制位，數的第一位已經大於他了。

	for (int i = 0; i <= len - r; i++) {//前i位能湊出多少個合法數字
		/*
			假設cnt[i-1]已經得到了，那麼應該如何求cnt[i]
			當前進制t是一個r位的數字，那麼如果 
			我們取s[0:i]的後r位作爲一個數字，即s[i-r:i]是一個合法的數字且小於t，那麼cnt[i]+=cnt[i-r]
			如果我們取後r-1位作爲一個數字，顯然他比t小（因爲位數少），因此cnt[i]+=cnt[i-(r-1)]
			...
			直到我們取最後一位數字作爲一個數，有cnt[i]+=cnt[i-1]
		*/
		int beg = i - r;
		if (beg < 0)beg = 0;
		for (int j = beg; j < i; j++) {
			//j != i - 1 && s[j] == '0':數字超過一位，而且有前導0
			if (j != i - 1 && s[j] == '0')continue;
			if (j + r == i && s.substr(j, r) >= t)continue;//位數相等且數字不小於進制數
			//s[0:j]-s[j:i]能夠是一個合法的數字
			cnt[i] += cnt[j];
		}
	}
	return cnt[len - r];
}

int main() {
	while (cin >> s && s != "#") {
		ll res = 0; 
		len = s.size();

		for (int i = 1; i < s.size(); i++) 
			res += cnt_num(i);

		if (res > 0)printf("The code %s can represent %lld numbers.\n", s.c_str(), res);
		else printf("The code %s is invalid.\n", s.c_str());
	}
}