[2018.11.03 T2] 執行任務

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執行任務

有一支部隊，由 $n$ 個成員組成，編號分別爲 $1,2,…,n$。現在要求選出若干人去執行一項 任務，由於任務很艱鉅，現在要求選出的人數不少於 $m$。

現在要求你求出有多少種選人的方案。

輸入：

一行兩個正整數 $n，m$。

輸出：

一行一個正整數 $x$，表示答案。由於答案可能很大，輸出答案對 $1000000007$ 取模的結果。

樣例輸入：

6 3

樣例輸出：

42

數據範圍：

對於 $20\%$的數據，$1≤m≤n≤20$。

對於 $40\%$的數據, $1≤m≤n≤1000$。

對於 $60\%$的數據，$1≤m≤n≤100000$。

對於額外 $10\%$的數據，$m=1,1≤n≤1000000000$。

對於 $100\%$的數據，$m≤n,1≤m≤100000,1≤n≤1000000000$。

題解

數學題：
$\begin{aligned} &\sum_{i=m}^n\binom{n}{i}\\ =&\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}-\sum_{i=1}^{m-1}\binom{n}{i}\\ =&2^n-1-\sum_{i=1}^{m-1}\binom{n}{i} \end{aligned}$
因爲$\binom{n}{i}=\frac{n\times(n-1)\times\cdots\times(n-i+1)}{1\times 2\times\cdots\times i}$，意思就是說分號上面和下面的項數不會超過$m$項，是可以預處理的，此題完結。。。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e5+5,mod=1e9+7;
ll fac[M],inv[M],sum;
int n,m;
ll power(ll x,ll p){ll r=1;for(;p;p>>=1,x=x*x%mod)if(p&1)r=r*x%mod;return r;}
ll C(int n,int m){return fac[m]*inv[m]%mod;}
void in(){scanf("%d%d",&n,&m);}
void ac()
{
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=m;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[m]=power(fac[m],mod-2);
	for(int i=m-1;i>=0;--i)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	fac[1]=n;for(int i=2;i<=m;++i)fac[i]=fac[i-1]*(n-i+1)%mod;
	for(int i=1;i<m;++i)(sum+=C(n,i))%=mod;
	printf("%lld",(power(2,n)-1-sum+mod)%mod);
}
int main(){in(),ac();}