Luogu4936 Agent1

原題鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4936

Agent1

題目背景

2018年11月17日，中國香港將會迎來一場XM大戰，是世界各地的ENLIGHTENED與RESISTANCE開戰的地點，某地 的ENLIGHTENED總部也想派Agent去參加這次的XM大戰，與世界其他地方的ENLIGHTENED並肩作戰。

題目描述

某地的ENLIGHTENED總部總部有$N$個Agent，每個Agent的能力值互不相同，現在ENLIGHTENED行動指揮想要派出$A,B$兩隊Agent去參加XM大戰。但是參加大戰的兩個隊伍要滿足兩個要求：

$A$隊中能力最大的Agent的能力值要小於$B$隊能力最弱的Agent的能力值。
$A,B$兩隊都要有人蔘戰。
並不一定所有的Agent都要去參加XM大戰的，心急的ENLIGHTENED行動指揮想知道有多少種安排Agent參加大戰的方案。由於答案可能很大，所以只需要你求出答案模$(10^9+7)$的值就可以了。

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輸出答案模$(10^9+7)$的值。

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3

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5

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6

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129

說明

對於$20\%$的數據 $N \leq 10$

對於$40\%$的數據 $N \leq 10^3$

對於$60\%$的數據 $N \leq 10^5$

對於$100\%$的數據 $N \leq 10^9$

題解

大概是從$n$個人裏面先選出$2$個及以上的人，然後從中間選一個點斷開，我們就把人分成了兩組，式子如下：
$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}(i-1)\\ =&\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}i-\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}\\ =&n\times 2^{n-1}-(2^n-1)\\ =&(n-2)\times 2^{n-1}+1 \end{aligned}$

然後就變成了快速冪板子題。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n;
ll power(ll x,ll p){ll r=1;for(;p;p>>=1,x=x*x%mod)if(p&1)r=r*x%mod;return r;}
void in(){scanf("%d",&n);}
void ac(){printf("%lld",((n-2)*power(2,n-1)%mod+1)%mod);}
int main(){in(),ac();}