NOIP模擬賽20191024 T1 嘟嘟嚕【約瑟夫問題的mlogn解法】

題目描述：

題目分析：

（Steins Gate，給出題人點贊！好評！）這麼多次模擬賽第一次AK

我們把0~n-1這n個人排成一排：
0 1 2 3 … n-1
然後編號爲m%n-1的人會被機關處決，從編號爲m%n的人開始重新計數，假設m%n=4：
$\begin{aligned} 0~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~2~~~~~~~~3~~~4~~~5~~~6\dots~~~n-1\\ n-4~~~n-3~~~n-2~~~~~~~~~0~~~1~~~2\dots~~~n-5 \end{aligned}$

可以看出這一輪相對於下一輪編號增加了4（即m%n），所以下一輪編號爲k的人在這一輪編號爲(k+m%n)%n

設$f[n]$表示n個人中倖存者的編號，那麼有$f[n]=(f[n-1]+m\%n)\%n$

當n<=10⁶時可以O(n)遞推，但是n<=10⁹就行不通了。

注意到題目中m<<n，而當m<n時m%n=m，所以可以嘗試先把前m項遞推求出來，然後式子就變爲了：$f[n]=(f[n-1]+m)\%n~~~(m\le n)$

而m<<n，可以看出我們可以嘗試一次遞推多輪而不必管模。
假設我們當前推到了$f[j]$，需要找到使得$f[j]+(i-j)m>i$成立的最小的$i$，簡單化簡可以得到$i=\lfloor\frac {jm-f[j]}{m-1}\rfloor+1$，於是可以直接令$f[i]=(f[j]+(i-j)m)\%i$。

經過測試發現這樣的遞推方式跑的很快（於是我就不管複雜度什麼的了，和O(n)遞推拍一拍之後直接下一題 ）

考完題解是這樣的：

真是有yali的風範（我TM上不去Wikipedia啊啊啊啊啊啊）

然後我找到一篇文章：約瑟夫問題(Josephus problem)的klog(n)解法
文章的末尾有複雜度分析（然而我並沒有看懂第一步是怎麼來的，於是就咕咕咕了 ）

Code（代碼是按照從1開始編號的方式寫的，不如從0開始的簡潔，讀者可以自行嘗試）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,m;
int main()
{
	freopen("mayuri.in","r",stdin);
	freopen("mayuri.out","w",stdout);
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(m==1) {printf("%d\n",n);continue;}
		int f=1;
		for(int i=2;i<=min(n,m);i++) f=(f+(m-1)%i)%i+1;
		for(int j=m,i;j<n;j=i){
			i=min(1ll*n,(1ll*j*m-f)/(m-1)+1);
			f=(f+1ll*(i-j)*m-1)%i+1;
		}
		printf("%d\n",f);
	}
}