轉載自：關於冪律分佈的一個筆記
0：題外話或補記
最早知道二八法則，還是一本介紹猶太民族傑出人物的書，被稱爲猶太法則。說猶太人跟錢打交道較其他民族多，很早就知道了這個世界上是80%的人把錢借給了20%的會錢生錢的人，而且論據之一居然是人體80%是由水組成，只有20%爲其他關鍵物質；另一論據是空氣80%由氮氣構成，只有20%包括氧氣在內的其他氣體。這些固然都是頗有趣的現象，但一直未能上升到理論的高度。
1:冪律即Power law是系統科學中一個常見的現象
經濟學財富分佈滿足Pareto Power law tail分佈，語言中有詞頻的冪律分佈，城市規模和數量滿足冪律分佈，音樂中有f分之1噪音（冪律分佈）……。通常人們理解冪律分佈就是所謂的馬太效應，二八原則，即少數人聚集了大量的財富，而大多數人的財富數量都很小，因爲勝者通吃的原則。
股市中有80％的投資者只想着怎麼賺錢，僅有20％的投資者考慮到賠錢時的應變策略。但結果是隻有那20％投資者能長期盈利，而80％投資者卻常常賠錢。
20％賺錢的人掌握了市場中80％正確的有價值信息，而80％賠錢的人因爲各種原因沒有用心收集資訊； 當80％人看好後市時，股市已接近短期頭部，當80％人看空後市時，股市已接近短期底部。只有20％的人可以做到鏟底逃頂，80％人是在股價處於半山腰時買賣的。
券商的80％佣金是來自於20％短線客的交易，股民的80％收益卻來自於20％的交易次數。因此，除非有嫺熟的短線投資技巧，否則不要去貿然參與短線交易。
只佔市場20％的大盤指標股對指數的升降起到80％作用，在研判大盤走向時，要密切關注這些指標股的表現。
一輪行情只有20％的個股能成爲黑馬，80％個股會隨大盤起伏。80％投資者會和黑馬失之交臂，但僅20％的投資者與黑馬有一面之緣，能夠真正騎穩黑馬的更是少之又少。
有80％投資利潤來自於20％的投資個股，其餘20％投資利潤來自於80％的投資個股。投資收益有80％來自於20％筆交易，其餘80％筆交易只能帶來20％的利潤。所以，投資者需要用80％的資金和精力關注於其中最關鍵的20％的投資個股和20％的交易。
股市中20％的機構和大戶佔有80％的主流資金，80％的散戶佔有20％資金，所以，投資者只有把握住主流資金的動向，才能穩定獲利。
成功的投資者用80％時間學習研究，用20％時間實際操作。失敗的投資者用80％時間實盤操作，用20％時間後悔。
股價在80％的時間內是處於量變狀態的，僅在20％的時間內是處於質變狀態。成功的投資者用20％時間參與股價質變的過程，用80％時間休息，失敗的投資者用80％時間參與股價量變的過程，用20％時間休息。
2：幾種冪率分佈模型
以收入或人口數爲橫座標，以不低於該收入值或人口數的個體數或概率爲縱座標，可繪出一條向右偏斜得很厲害，拖着長長“尾巴”的累積分佈曲線（如圖1右圖所示），它與鐘形的泊松分佈曲線有顯著的不同。這種“長尾”分佈表明，絕大多數個體的尺度很小，而只有少數個體的尺度相當大，像國家人口，全世界有300多個國家和地區，只有11個國家的人口數超過一億。“長尾”分佈就屬於冪律分佈。
對“長尾”分佈研究做出重要貢獻的是Zipf和Pareto。
1932年，語言學家Zipf在研究英文單詞出現的頻率時，發現如果把單詞出現的頻率按由大到小的順序排列，則每個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關係：P(r)～r^(-α)，這種分佈就稱爲Zipf定律，它表明在英語單詞中，只有極少數的詞被經常使用，而絕大多數詞很少被使用。實際上，包括漢語在內的許多國家的語言都有這種特點。物理世界在相當程度上是具有惰性的，動態過程總能找到能量消耗最少的途徑，人類的語言經過千萬年的演化，最終也具有了這種特性，詞頻的差異有助於使用較少的詞彙表達儘可能多的語義，符合“最小努力原則”。
19世紀的意大利經濟學家帕累託（Pareto）研究了個人收入的統計分佈，發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入，提出了著名的80/20法則，即20%的人口占據了80%的社會財富。個人收入X不小於某個特定值x的概率與x的常數次冪亦存在簡單的反比關係：P[X≥k]～x^(-k)，上式即爲Pareto定律。對Pareto分佈P[X >= x] ~ x-k，通過求導很容易得到其概率分佈密度：p[X = x] ~ x-(k+1) = x-a，a = 1+k。對於Pareto定律，在成熟市場中，金融資產收益率的冪律分佈其冪指數約等於3.
Zipf定律與Pareto定律都是簡單的冪函數，我們稱之爲冪律分佈；還有其它形式的冪律分佈，像名次——規模分佈、規模——概率分佈，這四種形式在數學上是等價的，冪律分佈的示意圖如圖1右圖所示，其通式可寫成y=c*x^(-r)，其中x，y是正的隨機變量，c，r均爲大於零的常數。這種分佈的共性是絕大多數事件的規模很小，而只有少數事件的規模相當大。對上式兩邊取對數，可知lny與lnx滿足線性關係，也即在雙對數座標下，冪律分佈表現爲一條斜率爲冪指數的負數的直線，這一線性關係是判斷給定的實例中隨機變量是否滿足冪律的依據。判斷兩個隨機變量是否滿足線性關係,可以求解兩者之間的相關係數；利用一元線性迴歸模型和最小二乘法可得lny對lnx的經驗迴歸直線方程，從而得到y與x之間的冪律關係式。圖2顯示的是圖1右圖在雙對數座標下的圖形，由於某些因素的影響，圖2前半部分的線性特性並不是很強，而在後半部分（對應於圖1右圖的尾部），則近乎爲一直線，其斜率的負數就是冪指數。
3：冪律可作爲自組織臨界的證據
冪律分佈是自組織臨界系統在混沌邊緣，即從穩態過渡到混沌態的一個標誌，利用它可以預測這類系統的相位及相變。它認爲，由大量相互作用的成分組成的系統會自然地向自組織臨界態發展；當系統達到這種狀態時，即使是很小的干擾事件也可能引起系統發生一系列災變。著名的“沙堆模型”形象地說明了自組織臨界態的形成和特點（如圖3）：
設想在一平臺上緩緩地添加沙粒，一個沙堆逐漸形成。開始時，由於沙堆平矮，新添加的沙粒落下後不會滑得很遠。但是，隨着沙堆高度的增加，其坡度也不斷增加，沙崩的規模也相應增大，但這些沙崩仍然是局部性的。到一定時候，沙堆的坡度會達到一個臨界值，這時，新添加一粒沙子（代表來自外界的微小干擾）就可能引起小到一粒或數粒沙子，大到涉及整個沙堆表面所有沙粒的沙崩。這時的沙堆系統處於“自組織臨界態”,有趣的是，臨界態時沙崩的大小與其出現的頻率呈冪律關係。這裏所謂的“自組織”是指該狀態的形成主要是由系統內部各組成部分間的相互作用產生，而不是由任何外界因素控制或主導所致，這是一個減熵有序化的過程；“臨界態”是指系統處於一種特殊的敏感狀態，微小的局部變化可以不斷被放大、進而擴延至整個系統。自組織臨界理論可以解釋諸如火山爆發、山體滑坡、岩層形成、日輝耀斑、物種滅絕、交通阻塞、以及金融市場中泡沫崩潰的現象。
4：啓示
帕累托法則換句話就是強調了重要的少數與瑣碎的多數，也指世界上充滿了不平衡性，比如20％的人口擁有80％的財富，20％的上市公司創造了80％的價值，80％的收入來自20％的商品，80％的利潤來自20％的顧客，等等。
這一法則潛在地影響了許多成功人士，特別是商界精英、計算機專家和質量工程師。這一法則已經幫助人們塑造了一個現代化世界。然而，它現在依然是我們這個時代一個偉大的祕密。即使是那些百裏挑一的能理解並運用80/20法則的行家們，也不過僅僅發現了它的冰山一角而已。
