Zoj-4019 Schrödinger's Knapsack（線性dp）

Schrödinger’s Knapsack

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zoj 4019

題目描述

有兩類物品，價值分別爲k1，k2，數量分別爲n，m，給出每個物品佔用的體積，每件物品放入揹包的價值是放入揹包後，k * 當前剩餘體積。求這個揹包所能裝入的最大價值。

Input
包含T組數據。
第一行給出k1，k2和揹包容量c。
第二行給出n，m 兩種物品數量。
接下來兩行分別是物品1和物品2的體積大小。

Sample Input

3
3 2 7
2 3
4 3
1 3 2
1 2 10
3 4
2 1 2
3 2 3 1
1 2 5
1 1
2
1

Sample Output

23
45
10

Solution
線性dp.
當一件物品選擇放或者不放，得到的價值與當前揹包剩餘容量和自己所屬哪一類有關，必須有兩維i，j記錄兩類物品選到第幾個了，還有一維記錄體積。
之後考慮貪心，如果想要得到的價值儘可能大，必然先把體積更小的物品裝入揹包，使得剩餘體積最大化，得到的乘積也就大，所以要裝一個物品，比它小的必須全部裝完，我們可以優化掉體積這一維，用前綴和來算出選到當前狀態的剩餘體積。
令dp[i][j]表示第一類選了前i個，第二類選了前j個所獲得的最大價值。

dp[i][j] = max(dp[i-1][j] + k1 * 剩餘體積 ，dp[i][j-1] + k2 * 剩餘體積)

代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int SZ = 2000 + 10;

ll dp[SZ][SZ],a[SZ],b[SZ];
ll suma[SZ],sumb[SZ];
ll k1,k2,c,n,m,ans;

int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T -- )
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&k1,&k2,&c,&n,&m);
		for(int i = 1;i <= n;i ++ )	 scanf("%lld",&a[i]);
		for(int i = 1;i <= m;i ++ )  scanf("%lld",&b[i]);
		sort(a + 1,a + n + 1);
		sort(b + 1,b + m + 1);
		for(int i = 1;i <= n;i ++ )
		{
			suma[i] = suma[i - 1] + a[i];
		}
		for(int i = 1;i <= m;i ++ )
		{
			sumb[i] = sumb[i - 1] + b[i];
		}
		dp[0][0] = 0;
		ans = 0;
		for(int i = 1;i <= n;i ++ )
		{
			dp[i][0] = dp[i - 1][0] + k1 * (c - suma[i]);
			ans = max(dp[i][0],ans);
		}
		for(int i = 1;i <= m;i ++ )
		{
			dp[0][i] = dp[0][i - 1] + k2 * (c - sumb[i]);
			ans = max(dp[0][i],ans);
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++ )
			for(int j = 1;j <= m;j ++ )
			{
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] + k1 * (c - suma[i] - sumb[j]),dp[i][j - 1] + k2 * (c - suma[i] - sumb[j])) ;
				ans = max(dp[i][j],ans);
			}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

2020.3.23