P1799 數列（線性dp）

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題意： 給你一個數列，我們可以任意刪除數列中的一些數，如果刪除了第i個數，那麼i以後的數的下標將前移，現在問你任意刪除一些數，能獲得最多的a[i]=i的數量是多少？

思路： 我們用dp[i][j]表示，對於a[i]，有三種情況，可以分類討論。
第一種：a[i]=i，這種情況，說明這個數剛好在要求的位置上，那麼前面就不能刪除數，所以這時候dp[i][0]=dp[i-1][0]+1。

第二種：a[i]>i，這種情況，我們不可能通過刪除一些數，使得a[i]=i。

第三種：a[i]<i，這種情況，我們要在前i-1個數中刪除i-a[i]個數，使得這個數產生貢獻，也就是dp[i][i-a[i]]=dp[i-1][i-a[i]]+1。

除了特殊處理上面三種情況，對於其他的我們也要狀態轉移的，如果要在前i個刪除j個數，那麼我們要考慮刪不刪第i個數，也就是dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])（已經特殊處理的位置需要跳過）。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define null NULL
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ll long long
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define ull unsigned long long
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ct cerr<<"Time elapsed:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"s.\n";
char *fs,*ft,buf[1<<20];
#define gc() (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=gc();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=gc();}
return x*f;}
using namespace std;
const int N=1e5+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-7;
const double PI=acos(-1);
int a[N],dp[1010][1010];
signed main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==i)
        {
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+1;
            for(int j=1;j<=i;j++)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]);
            }
        }
        else if(a[i]>i)
        {
            for(int j=0;j<=i;j++)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]);
            }
        }
        else
        {
            dp[i][i-a[i]]=dp[i-1][i-a[i]]+1;
            for(int j=0;j<=i;j++)
            {
                if(j==i-a[i])
                    continue;
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]);
            }
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        res=max(res,dp[n][i]);
    }
    cout<<res<<endl;
}