（紀中）2417. Loan Repayment【數學】

(File IO): input:loan.in output:loan.out
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題目描述
$Farmer John$ 欠了 $Bessie N$ 加侖牛奶$（1≤N≤10^12）$。他必須在 $K$ 天內將牛奶給 $Bessie$。但是，他不想將牛奶太早拿出手。另一方面，他不得不在還債上有所進展，所以他必須每天給 $Bessie$ 至少 $M$ 加侖牛奶$（1≤M≤10^12）$。
以下是 $Farmer John$ 決定償還 $Bessie$ 的方式。首先他選擇一個正整數 $X$。然後他每天都重複以下過程：
（1）假設 $Farmer John$ 已經給了 $Bessie G$ 加侖，計算 $(N−G）/X$ 向下取整。令這個數爲 $Y$。
（2）如果 $Y$ 小於 $M$，令 $Y$ 等於 $M$。
（3）給 $Bessie Y$ 加侖牛奶。
求 $X$ 的最大值，使得 $Farmer John$ 按照上述過程能夠在 $K$ 天后給 $Bessie$ 至少 $N$ 加侖牛奶 $（1≤K≤10^12）$。

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輸入
輸入僅有一行，包含三個空格分隔的正整數 $N、K$ 和 $M$，滿足 $K⋅M<N$。
注意這個問題涉及到的整數規模需要使用 $64$ 位整數類型（例如，$C/C++ 中的“long long”）$。

輸出
輸出最大的正整數 $X$，使得按照上述過程 $Farmer John$ 會給 $Bessie$ 至少 $N$ 加侖牛奶。

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樣例輸入
10 3 3

樣例輸出
2

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數據範圍限制
測試點 $1-3$ 滿足 $K≤10^5$。
測試點 $4-10$ 沒有額外限制。

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提示
在這個測試用例中，當 $X=2$ 時 $Farmer John$ 第一天給$Bessie 5$ 加侖，後兩天每天給 $Bessie M=3$ 加侖。

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解題思路
首先一定是二分$x$，不必多說但是如果真的一天天掃過去，每次$check()$是$O(k)$的，明顯超時，所以在$check()$時會使用類似除法分塊的方法。假設現在剩下了$r$的欠債，還剩t天
循環退出條件：$r⩽0∣∣t==0$，這時直接通過$r⩽0$的成立與否判斷x的成立與否。。
那麼$y=⌊ r/x ⌋$如果$y<=m$，那麼直接就以$m$爲每天的還債量，於是$r-=tm,t=0$。
否則就計算一下會有連續多少天的每日還債量是$y$，假設這種情況持續$a$天，那麼可以知道在$a-1$天之後的還債量$=y$，而$a$天之後的還債量$<y$。

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代碼

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
using namespace std;
long long n,k,m,l,r,mid;
bool check(long long x)
{
    long long kk=k,nn=n;
    while(1)
    {
        long long y,yy;
        y=nn/x;
        if(y<m)
            return m*kk>=nn;
        yy=nn/y-x+1;
        if(yy>kk)
            yy=kk;
        nn-=yy*y;
        kk-=yy;
        if(nn<=0)return 1;
        if(kk==0)return 0;
    }
}
int main(){
	freopen("loan.in","r",stdin);
	freopen("loan.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&m);
    l=1,r=n;
    while(l<r)
    {
        mid=(l+r+1)/2;
        if(check(mid))
            l=mid;
        else
            r=mid-1;
    }    
    printf("%lld",l);
}