（紀中）1604. 【市選模擬題】電壓放大器【數學】

(File IO): input:amp.in output:amp.out
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題目描述
西西需要把輸入的電壓$1$伏通過一系列電壓放大器放大成原來的$N$倍，然後輸出。
西西現在手上有兩種放大器：
第一種能夠把$X$伏的電壓放大成$2X-1$伏
第二種能夠把$X$伏的電壓放大成$2X+1$伏
放大器是串聯（即按順序放在一條線路上）的。
現在西西手上有用不完的放大器，他希望能組出一個電路，使用數量最少的放大器，使得電壓被放大了剛好$N$倍。

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輸入
一行一個正整數$N(1<=N<=2*10^9)$

輸出
如果無法組成電路則輸出一行$No$ $solution$
否則輸出兩行，第一行一個整數表示最少的放大器個數$K$，第二行$K$個用空格隔開的$1$或$2$，表示放大器序列。$1$表示第一種，$2$表示第二種，其中左邊爲輸入端。如果有多解輸出任意一組。

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樣例輸入
5

樣例輸出
2
2 1

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數據範圍限制
$20$的數據中 $N<=1000$
$50$的數據中，$N<=1000000$
$100$的數據如題。

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提示
先經過放大器$2$，$1*2+1=3$，然後經過$1$，$3*2-1=5$。滿足要求

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解題思路
題目大意：給你一個$1$，讓你經過多次操作（分兩種：$2x+1$和$2x-1$）變爲$n$這個數，求最少要多少步，並輸出操作序號。

主要思路（分兩種）：
（1）爆搜無極限 本蒟蒻當時就只打了暴搜QWQ，$60$分 ，唉，可惜時間複雜度不允許啊……

（2）我們可以從奇偶性分析，一開始的$1$爲奇數開始模擬一下所有步驟：
$1.$奇數$×2+1=$奇數
$2.$偶數$×2+1=$奇數
$3.$奇數$×2-1=$奇數
$4.$偶數$×2-1=$奇數
那這麼看來，這個變化中的序列肯定是個奇數序列了。$So$，只要n是偶數輸出$No$ $solution$。
我們開始分析一下樣例：$5$
肯定是先第二種再第一種，這時我們反着推:$（5+1）/2=3,(3-1)/2=1$。
我們這時可以思考到：爲什麼$5$只能$+1$再$/2$，而$3$可以$-1$再$/2$呢？我們可以先列一個奇數表
表：$1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,11 ,13 ,15 ,17 ,19……$
標記 $+1,-1,+1,-1,+1,-1, +1 ,-1, +1, -1……$
我們可以發現$+1，-1$好像就是按他們在這個奇數數列中位置而變。那就是求項數 % 2== 什麼了。
那這就好辦了每次去判斷現在他的項數爲偶數就$（x-1）/2$否則就$（x+1）/2$。

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代碼·

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
int n,x,t,ans[105];
int main()
{
	freopen("amp.in","r",stdin);
    freopen("amp.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    if(n%2==0)
		printf("No solution");
	else
	{
		x=n,t=0;
		while(x!=1)
		{
			if(((x-1)/2+1)%2==1)
				x=(x+1)/2,ans[++t]=1;
			else
				x=(x-1)/2,ans[++t]=2;
		}
			
		printf("%d\n",t);
		for(int i=t;i>=1;--i)
			printf("%d ",ans[i]);
	}
}